/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Wymierne/Mianownik stopnia 2

Zadanie nr 9626817

Oblicz całkę ∫ --x−3--- x2− 3x+2dx .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozkładamy mianownik na czynniki.

2 x − 3x + 2 = 0 Δ = 9− 8 = 1 3 − 1 3+ 1 x = ------= 1 ∨ x = ------= 2 . 2 2

Szukamy zatem rozkładu funkcji podcałkowej na ułamki proste postaci

x − 3 x − 3 A B --2--------- = --------------- = ------+ -----. x − 3x + 2 (x − 1 )(x− 2) x − 1 x− 2

Mnożąc obie strony przez (x− 1)(x− 2) otrzymujemy

x − 3 = A (x − 2) + B (x− 1) = (A + B)x − 2A − B,

co daje układ równań

{ A + B = 1 2A + B = 3.

Odejmując od drugiego równania pierwsze otrzymujemy A = 2 . Stąd B = − 1 oraz

∫ x − 3 ∫ 2 1 ------------dx = ------− ------dx = x2 − 3x + 2 x − 1 x − 2 = 2 ln |x − 1|− ln |x− 2|+ C .

 
Odpowiedź: 2 ln |x− 1|− ln |x− 2|+ C

Wersja PDF