/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Wymierne/Mianownik stopnia 2

Zadanie nr 9645432

Oblicz całkę ∫ -4x−-3-- x2+ 2x+4dx .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Całkę rozbijamy na dwie całki tak, aby w jednej licznik był pochodną mianownika, a w drugiej, żeby nie było x w liczniku.

∫ ∫ ∫ --4x-−--3---dx = 2 ---2x-+-2---dx − 7 -----1-----dx = 2A − 7B . x2 + 2x + 4 x 2 + 2x + 4 x2 + 2x+ 4

Liczymy teraz te prostsze całki A i B .

∫ | | --2x-+--2--- ||t = x2 + 2x+ 4|| A = x2 + 2x + 4dx = |dt = (2x+ 2)dx| = ∫ = 1dt = ln |t| + C = ln (x2 + 2x + 4)+ C t | | ∫ 1 ∫ 1 |t = x + 1| B = -2---------dx = -------2----dx = || dt = dx || = ∫ x + 2x + 4 (x + 1) + 3 --1--- -1-- -t-- -1-- x-+-1- = t2 + 3 dt = √ 3 arctg √ 3 + C = √ 3 arctg √ 3 + C.

Licząc drugą całkę skorzystaliśmy ze wzoru

∫ --dx---= √1--arctg √x--+ C, dla k > 0. x 2 + k k k

Mamy zatem

∫ 4x− 3 7 x + 1 ------------dx = 2A − 7B = 2ln(x 2 + 2x + 4)− √---arctg -√----+ C . x2 + 2x + 4 3 3

 
Odpowiedź: 2 -7- x+1- 2 ln (x + 2x+ 4)− √3 arctg √ 3 + C

Wersja PDF