/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Wymierne/Mianownik stopnia 1

Zadanie nr 2085088

Oblicz całkę ∫ -x3-- x+1dx .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Podstawiamy t = x + 1 .

∫ 3 || || ∫ 3 --x---dx = |t = x+ 1|= (t−-1)--dt = x + 1 |dt = dx | t ∫ t3 − 3t2 + 3t− 1 ∫ ( 1) = -----------------dt = t2 − 3t+ 3 − -- dt = t t 1-3 3-2 = 3t − 2t + 3t− ln |t|+ C = 1 3 = -(x + 1)3 − --(x+ 1)2 + 3(x+ 1)− ln |x+ 1|+ C . 3 2

Sposób II

Dzielimy x3 z resztą przez (x + 1) – my zrobimy to grupując wyrazy.

x3 = x3 + 1 − 1 = (x + 1 )(x2 − x+ 1)− 1.

Mamy więc

∫ x3 ∫ (x + 1)(x 2 − x + 1)+ 1 -----dx = ------------------------dx = x∫+( 1 x) + 1 2 --1--- 1- 3 1- 2 = x − x + 1− x + 1 dx = 3 x − 2x + x − ln |x+ 1|+ C .

 
Odpowiedź: 13x 3 − 12x2 + x− ln |x + 1|+ C

Wersja PDF