/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Wymierne/Mianownik stopnia 1

Zadanie nr 7268129

Oblicz całkę ∫ -x3-- x−1dx .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Podstawiamy t = x − 1 .

∫ 3 || || ∫ 3 --x---dx = |t = x− 1|= (t+-1)--dt = x − 1 |dt = dx | t ∫ t3 + 3t2 + 3t+ 1 ∫ ( 1) = -----------------dt = t2 + 3t+ 3 + -- dt = t t 1-3 3-2 = 3t + 2t + 3t+ ln |t|+ C = 1 3 = -(x − 1)3 + --(x− 1)2 + 3(x− 1)+ ln |x− 1|+ C . 3 2

Sposób II

Dzielimy x3 z resztą przez (x − 1) – my zrobimy to grupując wyrazy.

x3 = x3 − 1 + 1 = (x − 1 )(x2 + x+ 1)+ 1.

Mamy więc

∫ x3 ∫ (x − 1)(x 2 + x + 1)+ 1 -----dx = ------------------------dx = x∫−( 1 x) − 1 2 --1--- 1- 3 1- 2 = x + x + 1+ x − 1 dx = 3 x + 2x + x + ln |x− 1|+ C .

 
Odpowiedź: 13x 3 + 12x2 + x+ ln |x − 1|+ C

Wersja PDF