/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Wymierne/Mianownik stopnia 3

Zadanie nr 2868948

Oblicz całkę ∫ 2x2−3x−-2- x3−x 2−x−2 dx .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozłóżmy licznik i mianownik na czynniki.

2 2x − 3x − 2 = 0 Δ = 9 + 1 6 = 25 3 − 5 1 3 + 5 x = ------= − -- ∨ x = ------= 2. 4 2 4

Zatem

( 1) 2x2 − 3x − 2 = 2(x − 2 ) x+ -- = (x − 2)(2x + 1). 2

Teraz rozkładamy mianownik. Sprawdzając dzielniki wyrazu wolnego, można znaleźć pierwiastek x = 2 . Zatem mianownik dzieli się przez (x − 2) . Dzielimy

x3 − x2 − x − 2 = (x 3 − 2x 2)+ (x 2 − 2x)+ (x− 2) = (x − 2)(x2 + x + 1).

Mamy zatem

∫ 2x 2 − 3x − 2 ∫ (x− 2)(2x + 1) ---------------dx = -------------------dx = x3 − x2 − x − 2 (x− 2)(x2 + x+ 1) ∫ 2x+ 1 ∫ (x 2 + x + 1 )′ = -2--------dx = ---2---------dx = ln(x2 + x + 1) + C . x + x+ 1 x + x+ 1

 
Odpowiedź: ln (x2 + x+ 1)+ C

Wersja PDF