/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Wymierne/Mianownik stopnia 3

Zadanie nr 7923282

Oblicz całkę ∫ -dx-- x3+x .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Ponieważ

3 2 x + x = x(x + 1),

szukamy rozkładu funkcji podcałkowej na ułamki proste postaci

1 A Bx + C -------= --+ -------. x3 + x x x2 + 1

Mnożąc obie strony przez 2 x(x + 1) otrzymujemy

2 2 1 = A (x + 1) + (Bx + C)x = (A + B )x + Cx + A ,

co daje A = 1 ,C = 0,B = − 1 . Zatem

∫ ∫ ∫ --dx---dx = dx-− ---x---dx = ln |x|− 1ln(x 2 + 1) + C . x 3 + x x x 2 + 1 2

 
Odpowiedź: ln |x|− 1ln(x2 + 1) + C 2

Wersja PDF