/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Wymierne/Mianownik stopnia 4

Zadanie nr 4667826

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Oblicz całkę ∫ -dx-- x4−x 2 .

Rozwiązanie

Ponieważ

4 2 2 2 2 x − x = x (x − 1) = x (x− 1)(x+ 1),

szukamy rozkładu funkcji podcałkowej na ułamki proste w postaci:

1 a b c d -------- = ------+ ------+ --+ --. x 4 − x 2 x − 1 x+ 1 x x2

Mnożąc obie strony przez 4 2 x − x otrzymujemy

2 2 2 2 1 = a(x + 1 )x + b(x− 1)x + cx(x − 1) + d(x − 1) = = (a + b + c)x3 + (a − b + d)x2 − cx − d.

Porównujemy teraz współczynniki przy kolejnych potęgach x .

(| a+ b+ c = 0 (| a+ b = 0 ||{ ||{ a− b+ d = 0 a− b = 1 || c = 0 ⇒ || c = 0 |( |( d = − 1 d = − 1.

Jeżeli dodamy do pierwszego równania drugie to otrzymamy a = 12 . Stąd b = − 1 2 oraz

∫ ∫ ∫ ∫ --dx----= 1- --dx--− 1- --dx--− dx-= x4 − x2 2 x − 1 2 x + 1 x2 1- 1- 1- = 2 ln |x− 1|− 2 ln |x + 1 |+ x + C = 1 ||x − 1|| 1 = --ln |-----| + --+ C . 2 |x + 1| x

 
Odpowiedź: | | 1 ln ||x−-1||+ 1+ C 2 x+ 1 x

Wersja PDF