/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Wymierne/Mianownik stopnia 4

Zadanie nr 7667330

Oblicz całkę ∫ 2dx- x4− 1 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Ponieważ

4 2 2 2 x − 1 = (x − 1 )(x + 1) = (x − 1)(x + 1)(x + 1),

szukamy rozkładu funkcji podcałkowej na ułamki proste w postaci:

2 a b cx + d ------- = ------+ ------+ ------- x 4 − 1 x − 1 x+ 1 x 2 + 1

Mnożąc obie strony przez 4 x − 1 otrzymujemy

2 2 2 = a (x + 1)(x + 1)+ b(x− 1)(x + 1)+ (cx+ d)(x − 1)(x + 1) = = (a + b + c)x3 + (a − b + d)x2 + (a + b − c)x + a − b− d.

Porównujemy teraz współczynniki przy kolejnych potęgach x .

( || a + b+ c = 0 |{ a − b+ d = 0 ||| a + b− c = 0 ( a − b− d = 2.

Jeżeli odejmiemy od pierwszego równania trzecie to otrzymamy c = 0 , a odejmując od drugiego równania czwarte otrzymamy d = −1 . Stąd łatwo otrzymać 1 a = 2 i 1 b = − 2 .

Mamy więc

∫ 2dx 1∫ dx 1∫ dx ∫ dx -4-----= -- ------− -- ------− -2-----= x − 1 2 x − 1 2 x + 1 x + 1 = 1ln |x− 1|− 1ln |x + 1 |− arctg x+ C = 2 | | 2 1 |x − 1| = 2 ln ||x-+-1|| − arctgx + C .

 
Odpowiedź: 1 ||x− 1|| 2 ln|x+-1|− a rctg x + C

Wersja PDF