Zadanie nr 9191177

Oblicz całkę ∫ 2x3−3x2+15x+6-- (x2+ 4)(x2+4x+5)dx .

Rozwiązanie

Mianownik jest iloczynem dwóch nierozkładalnych czynników kwadratowych, zatem funkcja podcałkowa jest sumą dwóch ułamków prostych drugiego rodzaju.

-2x3-−-3x2-+-15x-+-6-- ax-+-b- --cx-+-d---- (x2 + 4)(x2 + 4x + 5) = x2 + 4 + x2 + 4x+ 5

Mnożąc obie strony przez mianownik lewej strony mamy

2x3 − 3x2 + 15x + 6 = (ax + b)(x2 + 4x + 5) + (cx + d)(x 2 + 4) = 3 2 = (a+ c)x + (4a+ b+ d)x + (5a+ 4b + 4c)x + 5b + 4d.

Porównując współczynniki przy kolejnych potęgach otrzymujemy układ równań

( ||| a + c = 2 { 4a + b + d = − 3 | ||( 5a + 4b + 4c = 15 5b + 4d = 6.

Podstawiając c = 2− a do trzeciego równania mamy układ

( |{ 4a+ b+ d = − 3 a+ 4b = 7 |( 5b+ 4d = 6.

Wstawiamy teraz a = 7 − 4b do pierwszego równania.

{ 28− 16b+ b+ d = − 3 5b+ 4d = 6 { d− 15b = − 31 5b+ 4d = 6.

Podstawiamy teraz d = 15b − 3 1 do drugiego równania.

5b + 60b − 124 = 6 65b = 1 30 ⇒ b = 2.

Zatem d = − 1,a = −1 ,c = 3 oraz

∫ ∫ ∫ 2x-3 −-3x2 +-15x-+-6-- −x-+--2- --3x-−--1--- (x2 + 4)(x2 + 4x + 5)dx = x2 + 4 dx + x2 + 4x + 5 dx

Całkujemy ułamki proste

∫ −x + 2 1 ∫ 2xdx ∫ 2dx 1 --2----dx = − -- -2-----+ -2-----= − --A + B x∫+ 4 2| x + 4| ∫ x + 4 2 2xdx--- ||t = x2 + 4|| dt- 2 A = x2 + 4 = |dt = 2xdx | = t = ln|t|+ C = ln(x + 4) + C ∫ ∫ | x | ∫ B = --2dx--= ----2dx-----= || t = 2 || = --dt-- = x 2 + 4 4((x2)2 + 1) |dt = dx2| t2 + 1 x = arctg t+ C = arctg --+ C ∫ ∫2 ∫ ---3x-−-1---dx = 3- ---2x+--4---dx − 7 -----dx-----= 3-D − 7E x2 + 4x + 5 2 | x2 + 4x + 5 | x2 + 4x + 5 2 ∫ 2x + 4 |t = x2 + 4x + 5 | ∫ dt D = -2----------= || || = --= ln|t|+ C = x + 4x + 5 dt = (2x + 4)dx t = ln(x2 + 4x + 5 )+ C ∫ ∫ E = -----dx----- = -----dx------= a rctg(x + 2 )+ C . x 2 + 4x + 5 (x + 2)2 + 1

Mamy więc

∫ 2x3 − 3x2 + 15x + 6 1 3 --2-------2----------dx = − --A + B + -D − 7E = (x + 4)(x + 4x + 5) 2 2 1- 2 x- 3- 2 = − 2 ln (x + 4)+ arctg 2 + 2 ln (x + 4x + 5)− 7arctg(x + 2) + C .

Odpowiedź: − 12 ln(x2 + 4)+ arctg x2 + 32 ln(x2 + 4x + 5) − 7 arctg(x+ 2)+ C