/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Cyklometryczne

Zadanie nr 8483221

Oblicz całkę ∫ √ -- arctg xdx .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Całkujemy przez części.

∫ || ′ √ -|| arctg √xdx = ||u = 1 v = arc1tg 1x|| = |u = x v ′ = x+1 ⋅ 2√x| -- ∫ = x arctg √ x − --x---⋅-√1--dx. x + 1 2 x

Ostatnią całkę obliczymy przez podstawienie √ -- t = x ,

| √ -- | ∫ x 1 || t = x || ∫ t2 ∫ t2 + 1 − 1 x-+-1-⋅-√---dx = ||dt = -1√--dx|| = t2 +-1-dt = --t2-+-1---dt = 2 x 2 x ∫ --1--- √ -- √ -- = 1 − t2 + 1 dt = t− a rctg t+ C = x − arctg x+ C.

Zatem

∫ √ -- √ -- √ -- √ -- arctg xdx = x arctg x − x + arctg x+ C.

 
Odpowiedź: √ -- √ -- √ -- x arctg x − x + a rctg x + C

Wersja PDF