/Szkoła podstawowa/Liczby/Podzielność

Zadanie nr 3239205

Wykaż, że różnica każdych dwóch liczb trzycyfrowych, napisanych za pomocą tych samych cyfr, jest podzielna przez 3.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Jeżeli cyfry liczby trzycyfrowej są równe a,b,c (czyli jest ona równa 10 0a+ 10b+ c ), to jest 5 innych liczb, które można utworzyć z tych samych cyfr: acb,bac,bca,cab,cba (dla prostoty będziemy zapisywać liczbę o kolejnych cyfrach a,c,b jako acb , oczywiście nie ma to nic wspólnego z iloczynem a⋅c ⋅b ). W każdym z przypadków liczymy różnicę

abc − acb = 1 00a+ 10b + c− 100a − 10c − b = 9b − 9c abc − bac = 1 00a+ 10b + c− 100b − 10a − c = 9 0a− 90b abc − bca = 1 00a+ 10b + c− 100b − 10c − a = 9 9a− 90b− 9c abc − cab = 1 00a+ 10b + c− 100c − 10a − b = 9 0a+ 9b− 99c abc − cba = 1 00a+ 10b + c− 100c − 10b − a = 9 9a− 99c.

Oczywiście każda z otrzymanych liczb dzieli się przez 9.

Gdy się chwilę zastanowić, to powinno być jasne, że analogiczna własność zachodzi bez względu na ilość cyfr wyjściowej liczby. Wynika to z tego, że odejmując od siebie dwie liczby o takich samych cyfrach, ale zapisanych w innej kolejności, otrzymujemy w wyniku sumę wyrażeń postaci a(10n − 10k) , gdzie a jest cyfrą wyjściowej liczby. Pozostaje teraz zauważyć, że liczba 10n − 10k jest zawsze podzielna przez 9.

Sposób II

Zamiast się męczyć z rachunkami, możemy skorzystać z faktu, że liczba daje przy dzieleniu przez 3 taką samą resztę jak suma jej cyfr (jest to lekkie uogólnienie cechy podzielności przez 3). Jeżeli w liczbie zmienimy kolejność cyfr, to suma cyfr się nie zmieni, więc otrzymana liczba daje taką samą resztę z dzielenia przez 3 jak liczba wyjściowa. Zatem ich różnica dzieli się przez 3.

Wersja PDF