/Szkoła podstawowa/Liczby/Podzielność

Zadanie nr 8231534

Liczby 20 10 − 1 i 30 10 − 1 są podzielne przez 41. Uzasadnij, że liczby 10 30 − 1020 i 1012 − 100 są również podzielne przez 41.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli liczby 20 a = 10 − 1 i 30 10 − 1 są podzielne przez 41, to przez 41 dzieli się też ich różnica:

b − a = 10 30 − 1 − (1020 − 1) = 10 30 − 1020.

Zauważmy ponadto, że

1030 − 1020 = 1018(1012 − 102) = 10 18(10 12 − 10 0).

Wiemy, że liczba ta dzieli się przez 41. Ponieważ 1018 nie dzieli się przez 41 i 41 jest liczbą pierwszą, liczbą podzielną przez 41 musi być 12 10 − 100 .

Wersja PDF