Zadanie nr 9177559

Oblicz całkę ∫ --dx--- tgh x−1 .

Rozwiązanie

Jeżeli podstawiamy t = tg hx to

dt x = artgh t ⇒ dx = ----2- 1− t

oraz

∫ | | ∫ -dt- ∫ ----dx--- = ||t = tgh x ||= -1−t2 = ------dt-------. tgh x − 1 |dx = 1d−tt2| 1 − t (1 − t)2(1+ t)

Ostatnią całkę liczymy szukając rozkładu na ułamki proste.

1 A B C -------2-------= -----+ -------2 + -----. (1− t)(1 + t) 1− t (1− t) 1+ t

Mnożymy obie strony przez 2 (1 − t) (1+ t) .

2 2 1 =A (1− t )+ B (1+ t)+ C (1− t) = = t2(C − A ) + t(B − 2C )+ A + B + C .

Daje to układ równań

( |{ C − A = 0 B − 2C = 0 |( A + B + C = 1

Podstawiając A = C i B = 2C do ostatniego równania otrzymamy 1 C = 4 . Stąd A = 14,B = 12 oraz

∫ ∫ ∫ ∫ ---dx----= 1- -dt--+ 1- ---dt---+ 1- --dt- = tg hx − 1 4 1− t 2 (1 − t)2 4 1 + t 1 1 1 = − -ln |1− t|+ -------- + --ln|1 + t|+ C = 4 | | 2(1 − t) 4 | | 1 |1 + t| 1 1 |1+ tgh x| 1 = --ln ||-----||+ --------+ C = -ln ||---------||+ -----------+ C . 4 1 − t 2(1 − t) 4 1− tgh x 2− 2tgh x

Odpowiedź: | | 1 ln||1+-tghx-||+ ----1---+ C 4 1− tghx 2− 2tgh x