/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Funkcje hiperboliczne

Zadanie nr 9644615

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Oblicz ∫ -----dx------ 2sinh x+3coshx .

Rozwiązanie

Stosujemy podstawienie uniwersalne x t = tg h 2 . Wtedy

2 co sht = 1+--t- 1− t2 --2t-- sinh t = 1 − t2.

oraz

∫ dx || t = tg h x || ∫ -2-2 ----------- = || --2-2 || = -4t-1−t3+3t2dt = 2 + co shx dx = 1−t2dt 1−t2 + 1−t2- ∫ 2 2∫ dt 2 ∫ dt = --2---------dt = -- ----------- = -- -----2-----5. 3t + 4t+ 3 3 t2 + 43t+ 1 3 (t+ 3)2 + 9

Teraz pozostało skorzystać ze wzoru

∫ dx 1 x + a -------2---- = √---arctg -√----+ C, dla k > 0. (x + a) + b b b

Mamy zatem

∫ dx 2 3 3t + 2 ------------------ = --⋅ √--a rctg -√---- + C = 2sinh x + 3 cosh x 3 5 5 2 3tgh x2 + 2 = √---arctg ---√-------+ C . 5 5

 
Odpowiedź: 3tgh x+ 2 √2-a rctg ---√2---+ C 5 5

Wersja PDF