Narysować na płaszczyźnie zespolonej zbiór punktów spełniających... Zadania.info: losowe zadanie, Studia, 6957152

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Strona główna

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Studia

Zadanie nr 6957152

Narysować na płaszczyźnie zespolonej zbiór punktów spełniających warunek $Re z2 = Im z2$ .

Rozwiązanie

Sposób I

Jeżeli $z = a + bi$ , to

2 2 2 2 2 z = a + 2abi− b = (a − b )+ 2abi.

Podany warunek daje nam więc równanie

2 2 a − b = 2ab a2 − 2ab + b2 − 2b2 = 0 √ -- (a − b)2 − ( 2b)2 = 0 √ -- √ -- (a − b− √ -2b)(a − b+ 2b) = 0√ -- a − b− 2b = 0 ∨ a− b + 2b = 0 b = ----a√--- ∨ b = ---a√---. 1 + 2 1 − 2

Każda z równości opisuje prostą na płaszczyźnie, w sumie mamy więc dwie proste (które jak łatwo sprawdzić są prostopadłe).

Sposób II

Jeżeli $z = r(cos φ + isinφ )$ , to $z2 = r2(cos2 φ + isin2 φ)$ i mamy równanie

cos2φ = sin2 φ tg 2φ = 1 π π 2φ = -- ∨ 2φ = π + -- 4 4 φ = π- ∨ φ = π-+ π-. 8 2 8

Każdy z warunków opisuje prostą na płaszczyźnie. Łatwo te proste teraz narysować - jedna jest dwusieczną kąta między prostą $y = x$ i osią $Ox$ , a druga jest do niej prostopadła.

Jeszcze na koniec komentarz. Szukaliśmy liczb zespolonych spełniających warunek $2 z = a + ai$ dla pewnego $a ∈ R$ , czyli otrzymane proste dają wszystkie pierwiastki kwadratowe z liczb postaci $a+ ai$ , lub jak ktoś woli, znaleźliśmy przeciwobraz prostej $a = b$ przy odwzorowaniu $f : C → C$ , $f (z) = z2$ .

Rozwiązanie

Losuj ponownie

Legalni bukmacherzy