Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7590224

Na okręgu o promieniu r opisano trapez prostokątny, którego najkrótszy bok ma długość 32r . Oblicz pole tego trapezu oraz stosunek długości jego przekątnych.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.


PIC


Jeżeli oznaczymy HB = x , to ponieważ w czworokącie opisanym na okręgu sumy przeciwległych boków są równe, mamy

AD + BC = AB + CD 3 3 2r + BC = -r + x + --r ⇒ BC = x + r. 2 2

Napiszmy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie HBC .

HB 2 + HC 2 = BC 2 x 2 + 4r2 = (x+ r)2 2 2 2 2 x + 4r = x + 2xr+ r 2 3r- 2xr = 3r ⇒ x = 2 .

Zatem pole trapezu jest równe

P = AB--+-CD--⋅2r = 9r2. 2 2

Długości przekątnych wyliczamy z trójkątów prostokątnych AHC i ADB .

 ∘ ------------- ∘ ---2------ AC = AH 2 + HC 2 = 9r-+ 4r2 = 5r- ∘ ------------ ∘ --4------ 2--- BD = AB 2 + AD 2 = 9r2 + 4r2 = r√ 13.

Zatem szukany stosunek wynosi

 √ --- √ --- BD--= r--13-= 2--13-. AC 52r 5

 
Odpowiedź: Pole: 9r2 2 , stosunek przekątnych:  √ -- 2-513

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!