Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6281590

W trapezie ABCD ramiona mają długości AD = 10 oraz BC = 1 7 , zaś tangens kąta nachylenia ramienia AD do dłuższej podstawy AB wynosi 43 . Wiedząc, że w dany trapez można wpisać okrąg oblicz

  • pole trapezu,
  • pole trójkąta DBC .
Wersja PDF
Rozwiązanie

Narysujmy opisaną sytuację.


PIC


  • Ponieważ trapez jest opisany na okręgu, więc sumy przeciwległych boków są równe, są one więc równe 10 + 1 7 = 27 . Skoro znamy sumę podstaw, to do wyliczenia pola trapezu potrzebna nam jest już tylko wysokość h . Z podanej informacji o tangensie kąta ∡A , mamy
    4- -h-- 3- 3 = tg ∡A = AE ⇒ AE = 4 h.

    Stosujemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie AED

    10 0 = h2 + -9-h2 16 25- 2 10 0 = 16 h 2 h = 64 h = 8.

    Stąd szukane pole

    P = 1-⋅27 ⋅8 = 4⋅27 = 108. 2

     
    Odpowiedź: 108

  • Aby wyliczyć pole trójkąta DBC musimy się trochę bardziej wysilić, bo potrzebujemy długość podstawy DC . Z twierdzenia Pitagorasa wyliczamy długości odcinków AE i FB .
     ∘ --------- √ --- AE = 1 00− h2 = 36 = 6 ∘ --------- √ ---- FB = 2 89− h2 = 225 = 15.

    Stąd

    DC + AE + EF + F B = 27 2DC + 6+ 15 = 27 DC = 3.

    Zatem

     1 1 PDBC = -DC ⋅h = --⋅3⋅ 8 = 12. 2 2

     
    Odpowiedź: 12

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!