/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Okrąg/Styczne do okręgu

Zadanie nr 1545746

Wyznacz równania prostych stycznych do okręgu o równaniu x 2 + y2 + 4x − 6y − 3 = 0 i zarazem prostopadłych do prostej x + 2y − 6 = 0 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Przekształćmy najpierw równanie danego okręgu, tak aby ustalić jaki ma środek i promień

2 2 x + y + 4x − 6y − 3 = 0 (x2 + 4x + 4 )+ (y 2 − 6y + 9 )− 4 − 9 − 3 = 0 (x + 2)2 + (y − 3)2 = 4 2.

Jest to zatem okrąg o środku S = (− 2,3) i promieniu 4. Możemy zatem zrobić schematyczny rysunek.

PIC

Szukane styczne mają być prostopadłe do danej prostej y = − 12x + 3 , są zatem postaci y = 2x + b . Jest wiele różnych sposobów wyznaczenia współczynnika b , my pokażemy dwa z nich.

Sposób I

Skorzystamy ze wzoru na odległość punktu P = (x ,y ) 0 0 od prostej Ax + By + C = 0 :

|Ax + By + C| ---0√------0-----. A 2 + B 2

W naszej sytuacji chcemy aby punkt S = (− 2,3) był w odległości 4 od prostej y − 2x − b = 0 . Prowadzi to do równania

√ -- |3√+-4-−-b|-= 4 / ⋅ 5 1 + 4 √ -- |7 − b| = 4 √5-- √ -- 7− b = − 4 5 lub 7− b = 4 5 √ -- √ -- b = 7+ 4 5 lub b = 7 − 4 5 .

Są więc dwie styczne spełniające warunki zadania:

√ -- √ -- y = 2x + 7 + 4 5 lub y = 2x + 7 − 4 5.

Sposób II

Szukane proste mają mieć jeden punkt wspólny z danym okręgiem, tzn. układ równań

{ y = 2x + b 2 2 x + y + 4x − 6y − 3 = 0

ma mieć dokładnie jedno rozwiązanie. Układ ten sprowadza się do równania

x2 + (2x + b)2 + 4x − 6(2x + b) − 3 = 0 2 2 2 x + 4x + 4xb + b + 4x − 12x − 6b− 3 = 0 5x2 + (4b − 8)x + (b2 − 6b − 3) = 0.

Ponieważ równanie to ma mieć dokładnie jedno rozwiązanie, to Δ = 0 , czyli

2 2 (4b− 8) − 20(b − 6b − 3) = 0 / : 4 (2b− 4)2 − 5(b2 − 6b− 3) = 0 4b2 − 16b + 16 − 5b2 + 30b + 15 = 0 2 − b + 1 4b+ 31 = 0.

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

b2 − 14b − 31 = 0 √ -- Δ = 142 + 4 ⋅31 = 320 = (8 5)2 √ -- √ -- √ -- √ -- b = 14−--8--5-= 7 − 4 5 lub b = 14-+-8--5-= 7 + 4 5. 2 2

Są więc dwie styczne spełniające warunki zadania:

√ -- √ -- y = 2x + 7 + 4 5 lub y = 2x + 7 − 4 5.

Jeszcze inny, naturalny sposób wyznaczenia b , to wyznaczenie punktów styczności szukanych stycznych z okręgiem (poprzez przecięcie okręgu z prostą równoległą do x + 2y − 6 = 0 i przechodzącą przez S ).  
Odpowiedź: √ -- y = 2x + 7+ 4 5 i √ -- y = 2x+ 7− 4 5

Wersja PDF