Zadanie nr 1663450

Znajdź równania stycznych do okręgu 2 2 (x+ 1) + (y − 1 ) = 5 poprowadzonych z punktu A = (2,0) .

Rozwiązanie

Sposób I

Zaczynamy od rysunku.

Proste przechodzące przez punkt (2,0) są postaci y = a(x− 2) (w zasadzie jest jedna prosta x = 2 , która nie jest tej postaci, ale z rysunku widać, że nie jest ona szukaną styczną). Wśród tych prostych musimy znaleźć takie, które mają dokładnie jeden punkt wspólny z danym okręgiem. Mamy więc równanie

2 2 (x + 1) + (ax − 2a − 1 ) = 5 x 2 + 2x + 1+ a 2x2 + 4a2 + 1− 4a 2x− 2ax + 4a = 5 2 2 2 2 (1 + a )x + (2 − 4a − 2a)x + 4a + 4a − 3 = 0.

Równanie to ma jedno rozwiązanie jeżeli Δ = 0 , czyli

(2− 4a2 − 2a)2 − 4(1+ a2)(4a2 + 4a− 3) = 0 / : 4 (1− 2a2 − a)2 − (1+ a 2)(4a 2 + 4a − 3) = 0 4 2 2 3 2 4 3 2 1+ 4a + a − 4a − 2a+ 4a − 4a − 4a+ 3− 4a − 4a + 3a = 0 − 4a2 − 6a+ 4 = 0 2 2a + 3a− 2 = 0.

Dalej Δ = 25 , a = − 2 lub a = 1 2 . Stąd szukane styczne to y = − 2(x− 2) i 1 y = 2(x − 2) .

Powyższe rachunki byłyby znacznie prostsze, gdybyśmy proste sparametryzowali w postaci x = ay + 2 .

Sposób II

Tak jak w poprzednim sposobie szukamy stycznych w postaci

y = a(x − 2) y− ax + 2a = 0 .

Prosta tej postaci będzie styczna do danego okręgu, gdy jej odległość od punktu O = (− 1,1) będzie równa promieniowi okręgu, czyli √ -- 5 . Korzystamy ze wzoru na odległość punktu P = (x0,y0) od prostej Ax + By + C = 0 :

|Ax + By + C| ---0√------0-----. A 2 + B 2

W naszej sytuacji mamy

√ -- |1√+-a-+-2a| = 5 1 + a2 ∘ ---------- 2 |1+ 3a| = 5(1 + a2) /() 2 2 1 + 6a + 9a = 5+ 5a 4a2 + 6a − 4 = 0 / : 2 2 2a + 3a − 2 = 0 Δ = 9 + 16 = 2 5 a = −-3−--5 = − 2 ∨ a = −-3+--5 = 1- 4 4 2

Stąd szukane styczne to y = − 2(x − 2) i y = 12(x− 2) .

Sposób III

Tym razem użyjemy odrobinę więcej geometrii. Z trójkąta prostokątnego AOB możemy wyliczyć odległość .

∘ ------------------- √ --- AO = (2+ 1)2 + (0 − 1 )2 = 10 ∘ ------------ √ ------- √ -- AB = AO 2 − OB 2 = 10 − 5 = 5.

Aby wyznaczyć punkty styczności szukanych stycznych z okręgiem musimy znaleźć punkty wspólne podanego okręgu i okręgu o środku A = (2,0) i promieniu √ -- 5 .

{ (x+ 1)2 + (y− 1)2 = 5 (x− 2)2 + y2 = 5 { 2 2 x + 2x + 1 + y − 2y + 1 = 5 x2 − 4x + 4 + y2 = 5

Odejmujemy od pierwszego równania drugie (żeby skrócić kwadraty) i mamy

6x − 2y− 2 = 0 ⇒ y = 3x − 1.

Wstawiamy to do drugiego równania okręgu.

2 2 x − 4x + 4 + (3x − 1 ) = 5 10x 2 − 1 0x = 0 x(x − 1 ) = 0.

Zatem punkty styczności stycznych to (0,− 1) i (1,2) . Pozostało napisać równania stycznych. Można je odgadnąć lub skorzystać ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty A = (x ,y ) A A i B = (x ,y ) B B :