Funkcje trygonometryczne - dowody - Poradnik matematyczny - Zadania.info, Rozwiąż nierówność, 1434

Deﬁnicje

ZINFO-FIGURE

Deﬁnicja
Niech P = (x,y) będzie takim punktem na okręgu jednostkowym x 2 + y2 = 1 , że półproste i tworzą kąt skierowany o mierze α ∈ R . Deﬁniujemy wtedy

sin α = y cosα = x tg α = y- ctgα = x. x y

Zdeﬁniowane wyżej funkcje nazywamy funkcjami trygonometrycznymi.

Fakt 1
Niech P = (x ,y) będzie takim punktem na okręgu 2 2 2 x + y = r , że półproste i tworzą kąt skierowany o mierze α ∈ R . Wtedy

y x sinα = -- cos α = -- r r tg α = y- ctgα = x-. x y

Dowód Okrąg 2 2 2 x + y = r powstaje z okręgu 2 2 x + y = 1 przez jednokładność o środku w punkcie i skali . Wystarczy teraz zauważyć, że stosunki długości odcinków nie zmieniają się przy jednokładności (bo długość każdego odcinka zmienia się jak mnożenie przez ).

Fakt 2
Jeżeli jest kątem ostrym w trójkącie prostokątnym, to przy oznaczeniach z rysunku,

sin α = a- cos α = b- c c a b tg α = -- ctgα = -. b a

ZINFO-FIGURE

Dowód

ZINFO-FIGURE

Wystarczy w Fakcie 1 oznaczyć r = c,x = b i y = a .

Proste tożsamości

Twierdzenie3
Dla dowolnego α ∈ R prawdziwa jest równość

2 2 sin α+ cos α = 1.

Tożsamość tę nazywamy jedynką trygonometryczną.

Dowód Współrzędne każdego punktu P = (x ,y ) na okręgu jednostkowym spełniają równość (twierdzenie Pitagorasa)

x2 + y2 = 1.

Jeżeli popatrzymy na deﬁnicje funkcji sinus i cosinus, to widać, że jest to dokładnie to, co mieliśmy udowodnić.

Fakt 4
Dla dowolnego α ∈ R mamy

tg α = -sin-α o ile co sα ⁄= 0 c osα ctg α = cosα- o ile sin α ⁄= 0, sin α

Dowód Bezpośrednio z deﬁnicji mamy

y- sinα- tgα = x = cosα x cosα ctgα = --= -----. y sinα

Proste równania i nierówności

Twierdzenie 5

sinα = 0 ⇐ ⇒ α = kπ π- sinα = 1 ⇐ ⇒ α = 2 + 2kπ π sinα = − 1 ⇐ ⇒ α = − --+ 2k π π 2 cos α = 0 ⇐ ⇒ α = --+ kπ 2 cos α = 1 ⇐ ⇒ α = 2kπ cos α = − 1 ⇐ ⇒ α = (2k+ 1)π tgα = 0 ⇐ ⇒ α = kπ π- ctgα = 0 ⇐ ⇒ α = 2 + kπ.

gdzie jest dowolną liczba całkowitą.

Dowód W każdej z równoważności patrzymy na okrąg jednostkowy i sprawdzamy dla jakich kątów punkt ma odpowiednie współrzędne.

Np. sin x = 0 dla punktów, które mają drugą współrzędną zerową, czyli są na osi . Punkty te odpowiadają kątom α = kπ, k ∈ C .

Podobnie uzasadniamy pozostałe równoważności.

Twierdzenie 6

sinx > 0 ⇐ ⇒ x ∈ (0+ 2kπ,π + 2kπ ) ( ) cos x > 0 ⇐ ⇒ x ∈ − π-+ 2kπ , π-+ 2kπ 2 2 ( ) ( π ) 3π tgx > 0 ⇐ ⇒ x ∈ 0 + 2kπ ,2-+ 2kπ ∪ π + 2kπ ,-2-+ 2kπ ( ) ( ) π- 3π- ctgx > 0 ⇐ ⇒ x ∈ 0 + 2kπ ,2 + 2kπ ∪ π + 2kπ , 2 + 2kπ .

Dowód Jak zwykle patrzymy na obrazek z deﬁnicji funkcji trygonometrycznych i sprawdzamy kolejno: kiedy druga współrzędna punktu jest dodatnia, kiedy pierwsza współrzędna jest dodatnia, oraz kiedy współrzędne mają ten sam znak.

Okresowość

Twierdzenie 7
Funkcje sinus i cosinus są okresowe. Okresem podstawowym tych funkcji jest liczba .

Dowód To, że liczba jest okresem jest oczywiste: kąty różniące się o wielokrotność odpowiadają temu samemu punktowi na okręgu jednostkowym.

Pozostało do wykazania, że jest to okres podstawowy, czyli że żadna mniejsza liczba nie jest okresem tych funkcji.

Przypuśćmy, że 0 < T < 2π jest okresem funkcji sin x , czyli dla dowolnego α ∈ R mamy

sin(α + T) = sin α.

Podstawiając w tej równości α = 0 mamy sin T = 0 . Na mocy przyjętego założenia 0 < T < 2 π i Twierdzenia 5, mamy zatem T = π . To jednak nie jest możliwe, bo

( π ) π sin --+ π = − 1 ⁄= sin-- = 1. 2 2

Podobnie postępujemy w przypadku funkcji cosinus. W równości

cos(α+ T) = cosα

podstawiamy α = 0 , co daje nam cosT = 1 . Jest sprzeczne z Twierdzeniem 5 (bo 0 < T < 2π ).

Twierdzenie 8
Funkcje tangens i cotangens są okresowe. Okresem podstawowym tych funkcji jest liczba .

Dowód Jest jasne, że liczba jest okresem. To, że liczba też jest okresem można zobaczyć następująco. Patrzymy na obrazek z deﬁnicji funkcji trygonometrycznych.

ZINFO-FIGURE

Dodanie kąta do kąta odpowiada obróceniu półprostej o 180 ∘ . Można też myśleć, że jest to odbicie punktu względem środka początku układu współrzędnych. W wyniku takiej operacji współrzędne punktu zmienią znak na przeciwny. To jednak oznacza, że funkcje tangens i cotangens nie zmienią wartości.

Pozostało do wykazania, że jest to okres podstawowy. Załóżmy, że 0 < T < π jest okresem funkcji tangens, czyli dla dowolnego α ∈ R , α ⁄= π-+ kπ 2 mamy

tg(α + T) = tg α.

Wstawiając α = 0 mamy tg T = 0 . To jednak jest niemożliwe na mocy naszego założenia 0 < T < π i Twierdzenia 5.

Podobnie uzasadniamy, że liczba jest okresem podstawowym funkcji cotangens.

Twierdzenie 9

sin α = sinβ ⇐ ⇒ β = α + 2kπ ∨ β = π − α + 2kπ co sα = co sβ ⇐ ⇒ β = α + 2kπ ∨ β = − α+ 2kπ tg α = tg β ⇐ ⇒ β = α + kπ ctg α = ctg β ⇐ ⇒ β = α + kπ ,

gdzie oznacza dowolną liczbę całkowita.

Dowód Jeżeli sin α = sin β , to odpowiadające tym kątom punkty na okręgu jednostkowym mają taką samą drugą współrzędną. Jeżeli te punkty się pokrywają, to mamy β = α + 2kπ . Jeżeli natomiast są dwa różne punkty, to muszą leżeć symetrycznie względem osi . To jednak oznacza, że β = π − α + 2k π .

Podobnie uzasadniamy drugą równoważność.

Patrząc na deﬁnicje funkcji trygonometrycznych łatwo zauważyć, że tangens jest rosnący w przedziałach (− π2-+ 2kπ , π2-+ 2k π) i (π2 + 2kπ , 32π-+ 2kπ ) . Zatem na okręgu jednostkowym są co najwyżej dwa punkty, dla których tangensy odpowiadających kątów są równe tg α . Z drugiej strony, z okresowości tangensa wiemy, że tg(α + π ) = tg α . Zatem równość tg α = tg β oznacza, że α = β+ 2kπ (jeżeli odpowiadające punkty się pokrywają) lub β = π + α + 2kπ (jeżeli punkty są różne). Oba warunki można krótko zapisać w postaci β = α + k π .

Podobnie rozumujemy w przypadku cotangensa (lub korzystamy ze wzoru 1 ctg α = tg-α ).

Wzory redukcyjne

Twierdzenie 10
Niech zapis funkcja oznacza jedną funkcji trygonometrycznych, a zapis kof unkcja , niech będzie odpowiadającą kofunkcją do funkcji , według schematu

sin ↔ co s tg ↔ ctg .

Wtedy dla dowolnego k ∈ C mamy zależność

{ ( π- ) 𝜀⋅funkcja (α) jeżeli k jest parzyste f unkcja k ⋅2 ± α = 𝜀⋅kof unkcja(α) jeżeli k jest nieparzyste ,

gdzie jest znakiem wyrażenia ( ) funkcja k ⋅ π-± α 2 po podstawieniu za dowolnego kąta ostrego.

Dowód Patrząc ponownie na koło jednostkowe, łatwo zauważyć, że następujące operacje: dodanie lub odjęcie kąta do , zamiana na − α , nie zmieniają wartości bezwzględnych współrzędnych punktu (czyli co najwyżej zmieniają znaki współrzędnych tego punktu).

ZINFO-FIGURE

To oznacza, że dodawanie/odejmowanie dowolnej wielokrotności kąta do argumentu którejkolwiek funkcji trygonometrycznej nie zmienia wartości bezwzględnej tej funkcji (czyli co najwyżej zmienia jej znak). Podobnie w przypadku zamiany kąta na kąt przeciwny. W szczególności uzasadniliśmy równość

( π ) funkcja k ⋅-- ± α = ±f unkcja (α) jeżeli k jest parzyste 2

Podobnie, łatwo sprawdzić na okręgu jednostkowym, że dodatnie/odjęcie do kąta kąta π- 2 , powoduje zamianę wartości bezwzględnych współrzędnych punktu (czyli współrzędne te zamieniają się miejscami i ewentualnie zmieniają znaki). W połączeniu z uzasadnioną już niezmienniczością na dodawanie/odejmowanie wielokrotności kąta , oraz na zmianę kąta na przeciwny, daje nam to

( ) funkcja k⋅ π ± α = ±kof unkcja (α) jeżeli k jest nieparzyste . 2

Pozostało ustalić jaki powinien być znak z prawej strony tych wzorów. Aby to zrobić, wystarczy sprawdzić jakie są znaki obu stron dla jednego dowolnie wybranego kąta. Jeżeli wybierzemy kąt ostry , to zarówno funkcja (α) jak i kof unkcja(α) są dodatnie i za trzeba wziąć znak wyrażenia f unkcja (k⋅ π± α) 2

Funkcje sumy i różnicy kątów

Twierdzenie 11
Dla dowolnych α ,β ∈ R prawdziwe są wzory

sin (α+ β) = sinα cos β + sinβ cos α cos(α + β) = co sα cosβ − sin αsin β.

Dowód W dowodzie użyjemy rachunku wektorowego. Zacznijmy od narysowania w układzie współrzędnych wektora jednostkowego O→P o początku w punkcie i tworzącego z osią kąt .

ZINFO-FIGURE

Wtedy P = (cosα,sin α) . Niech → OP ′ będzie wektorem, który powstaje z → OP przez obrót względem punktu o kąt . Oczywiście

P ′ = (co s(α+ β),sin(α + β)).

Spróbujemy teraz wyliczyć współrzędne punktu P ′ w inny sposób.

Niech Ox ′y′ będzie układem współrzędnych, który powstaje z Oxy przez obrót względem punktu o kąt . W szczególności oś ′ Ox jest wyznaczona przez wektor → OP = [cosα,sin α] . W takim razie druga oś jest wyznaczona przez wektor → OR , który jest prostopadły do → OP . Łatwo odgadnąć współrzędne tego wektora: → OR = [− sin α,co sα] (prawy obrazek).

W układzie współrzędnych Ox ′y′ wektor → OP ′ ma współrzędne [cos β,sinβ ] (bo tworzy kąt z osią ′ Ox ), co nam daje następujące współrzędne w układzie Oxy .

→ → → OP ′ = cos β⋅OP + sin β ⋅OR = co sβ ⋅[cosα ,sin α]+ sin β ⋅[− sinα ,cosα] = = [cosβ cos α− sin β sin α,co sβ sin α + sinβ cos α].

W połączeniu z wcześniej zauważoną równością

→ ′ OP = [cos(α+ β),sin(α + β)]

daje to nam żądane równości.

Twierdzenie 12
Dla dowolnych α ,β ∈ R prawdziwe są wzory

sin (α− β) = sinα cos β − sinβ cos α cos(α − β) = co sα cosβ + sin αsin β.

Dowód Podstawiamy we wzorach z poprzedniego twierdzenia − β zamiast .

Twierdzenie 13

tg (α + β) = -tgα-+--tg-β- 1 − tg αtg β tgα − tg β tg (α − β) = ------------. 1 + tg αtg β

Dowód Liczymy (korzystając z Twierdzenia 11)

sin-(α+--β)- sinα-cos-β+--sin-β-cosα- tg(α + β) = cos(α + β) = cos αcos β − sinα sinβ = sin αcosβ+sin βcosα ----cosαcosβ----- tg α+ tg β = cosαcosβ−sin-αsinβ- = ------------. ----cosαcosβ----- 1 − tg αtg β

Drugi wzór otrzymujemy z pierwszego podstawiając − β zamiast .

Funkcje podwojonego kąta

Twierdzenie 14

sin2 α = 2 sin α cosα cos 2α = co s2α − sin2α = 2cos2 α− 1 = 1 − 2 sin 2α tg 2α = --2-tg-α-- 1 − tg2 α

Dowód Pierwsze dwa wzory otrzymujemy podstawiając β = α w Twierdzeniu 11 oraz korzystając z jedynki trygonometrycznej. Trzeci wzór otrzymujemy biorąc α = β w Twierdzeniu 13.

Twierdzenie 15
Jeżeli oznaczymy t = tg α 2 to

2t sinα = -----2 1 + t2 cos α = 1-−-t- 1 + t2 2t tgα = -----2. 1 − t

Dowód Liczymy (korzystamy z Twierdzenia 14)

α α sin α = 2 sin α-cos α-= -2-sin-2-cos-2--= 2 2 sin 2 α + cos2 α 2sin αcos α 2 2 --co2s2 α-2 2tg α 2t = ---2 α-2-2 α-= ---α--2--= ------. sin-2+c2o αs-2 tg2-2 + 1 t2 + 1 cos 2

Podobnie liczymy dla cosinusa.

2 α 2 α 2 α- 2 α- cos-2-−-sin--2- cos α = cos 2 − sin 2 = sin 2 α + cos2 α = 2 α 2 α 2 2 cos-2−-siαn-2- 2 α 2 = ----cos22----= 1-−-tg--2 = 1-−-t-. sin2 α2+cos2 α2 tg2 α2 + 1 t2 + 1 cos2 α2

Jeszcze wzór dla tangensa.

sin α 12+tt2 2t tgα = cos-α = 1−t2-= 1-−-t2. 1+t2

Sumy i różnice funkcji

Twierdzenie 16

α + β α − β sin α + sin β = 2 sin ------co s------ 2 2 cosα + cosβ = 2cos α-+-β-cos α-−-β- 2 2 α-−-β- α-+-β- sin α − sin β = 2 sin 2 co s 2 cosα − cosβ = − 2sin α−--β-sin α-+-β-. 2 2

Dowód Jeżeli w pierwszym wzorze podstawimy − β zamiast , otrzymamy trzeci wzór. Podobnie, podstawiając π − β w drugim wzorze, otrzymamy czwarty wzór. Wystarczy zatem udowodnić dwa pierwsze wzory.

Liczymy (korzystamy z Twierdzeń 11 i 12)

( ) ( ) α+--β- α-−-β- α-+-β- α−--β- sin α+ sin β = sin 2 + 2 + sin 2 − 2 = = sin α-+-β-cos α-−-β-+ sin α-−-β-cos α+--β+ 2 2 2 2 α-+-β- α-−-β- α-−-β- α-+-β- + sin 2 co s 2 − sin 2 co s 2 = α + β α − β = 2 sin ------cos ------. 2 2

Podobnie jest z drugą równością

( ) ( ) α-+-β- α−--β- α-+--β α-−-β- cosα + cosβ = co s 2 + 2 + cos 2 − 2 = = co s α-+-β-co s α-−-β-− sin α-−-β-sin α+-β+ 2 2 2 2 α+ β α− β α− β α + β + cos --2---cos --2---+ sin --2---sin --2---= = 2 cos α-+-β-co s α-−-β-. 2 2

Wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów.

Twierdzenie 17

kąt
sinus
cosinus

Dowód Zacznijmy od kąta π4- . Rysujemy połówkę kwadratu o boku 1.

Przekątna tego kwadratu ma długość √ -- 2 , więc

√ -- sin π- = co s π = √1-- = --2-. 4 4 2 2

Aby uzasadnić pozostałe równości rysujemy trójkąt równoboczny o boku 1. Z twierdzenia Pitagorasa łatwo wyliczyć, że wysokość tego trójkąta jest równa √ 3 -2- . Daje to nam

√ -- sin π-= 1- co s π = --3- 6 2√ -- 6 2 π 3 π 1 sin --= ---- co s-- = -. 3 2 3 2

Twierdzenie 18

√ -- ∘ -------√--- co s π = 1+----5- sin π-= --1-0−-2---5 5 4 5 4

Dowód Korzystamy ze wzorów na sin 2α i cos2α (Twierdzenie 14) oraz ze wzoru sin(π − α) = sinα .

π- 4π- 2π- 2π- π- π- 2 π sin 5 = sin 5 = 2 sin 5 cos 5 = 4 sin 5 co s 5(2 cos 5 − 1) π π π π π sin --= 4sin --cos --(2co s2--− 1) / : sin -- 5 π 5 π5 5 5 1 = 4 cos--(2 cos2 --− 1). 5 5

Podstawiamy teraz π- t = cos 5 .

2 1 = 4t(2t − 1) 8t3 − 4t − 1 = 0.

Łatwo znaleźć pierwiastek t = − 1 2 tego równania. Dzielmy więc przez 2t + 1 .

3 3 2 2 2 8t − 4t− 1 = (8t + 4t )− (4t + 2t)− (2t+ 1 ) = (2t+ 1)(4t − 2t − 1).

Wiemy, że cos π- 5 jest dodatni, więc jest to dodatni pierwiastek równania kwadratowego w nawiasie

4t2 − 2t− 1 = 0 Δ = 4 + 16 = 2 0 √ -- √ -- 2-+-2---5 1-+---5- t = 8 = 4 √ -- cos π = 1+----5. 5 4

Z jedynki trygonometrycznej wyliczamy

∘ ----------------- ∘ ---------- π ∘ ---------π- 1 + 2 √ 5+ 5 10− 2√ 5- sin --= 1 − cos2 --= 1 − -------------= ------------. 5 5 1 6 4

Tips & Tricks

1Deﬁnicja funkcji trygonometrycznych przy pomocy okręgu jednostkowego jest bardzo wygodna, bo pozwala zdeﬁniować te funkcje dla dowolnej wartości kąta. Jest ona również historycznie wcześniejsza od deﬁnicji używającej trójkąta prostokątnego.

Z drugiej strony, deﬁnicja funkcji w trójkącie prostokątnym (Fakt 2) jest o wiele prostsza i lepiej oddaje geometryczny charakter funkcji trygonometrycznych.

2Zaznaczając kąty w układzie współrzędnych zwykle rysowaliśmy ostry kąt . Warto jednak zadać sobie trud i posprawdzać, że rysując kąty w innych ćwiartkach nasze argumenty pozostają bez zmian.

3Jedynka trygonometryczna (Twierdzenie 3) jest dokładnie zapisem twierdzenia Pitagorasa – szczególnie dobrze to widać patrząc na deﬁnicje sinusa i cosinusa w trójkącie prostokątnym.

4Twierdzenie 6 jest zwykle uczone w postaci formułki w pierwszej wszystkie są dodatnie, w drugiej tylko sinus, w trzeciej tangens i cotangens, a w czwartej cosinus.

5Twierdzenie 7 na ogół pojawia się w podręcznikach w postaci liczba jest okresem funkcji.... My wykazujemy jednak znacznie więcej: pokazujemy, że żadna mniejsza liczba nie jest okresem tych funkcji. Podobnie w przypadku Twierdzenia 8.

6Nasz dowód Twierdzenia 9 nie jest w pełni precyzyjny, ale za to bardzo geometryczny. Precyzyjny dowód można przeprowadzić używając wzorów na różnice funkcji trygonometrycznych (Twierdzenie 16).

7Twierdzenie 10 zawiera najogólniejszą postać wzorów redukcyjnych i pomimo swojego pozornego skomplikowania, jest to najlepszy sposób na zapamiętanie wszystkich wzór redukcyjnych na raz.

Wzór ten jest formalnym zapisaniem tego, że obracając się na okręgu co ∘ 9 0 zamieniamy współrzędne punktu ze sobą i zmieniamy znak jednej z nich. Gdy się to dokładnie napisze wyjdzie Twierdzenie 10.

8Twierdzenie 11 jest zdecydowanie najważniejszym twierdzeniem trygonometrii. Wszystkie tożsamości trygonometryczne są jego konsekwencjami: jedynkę otrzymujemy biorąc α = β w wzorze na cos(α − β) , każdy wzór redukcyjny jest tej postaci, wzory na sumy i różnice funkcji są konsekwencjami tych wzorów – Twierdzenie 16.

9Przedstawiony dowód Twierdzenia 11 jest bardzo elegancki z kilku powodów. Przed wszystkim, nie trzeba w nim nic zakładać o kątach i – w większości innych dowodów tego twierdzenia, dowodzi się tych wzorów przy założeniu 0 < α,β < π2- , a potem przechodzi się do sytuacji ogólnej ze wzorów redukcyjnych. Przy naszym podejściu, wzory redukcyjne możemy traktować jako wniosek z Twierdzenia 11.

Kolejną zaletą tego dowodu jest to, że otrzymujemy oba wzory (na sinus sumy i cosinus sumy) jednocześnie. Wbrew pozorom, otrzymanie z jednego wzoru z drugiego jest dość podchwytliwe. Jeżeli np. umiemy udowodnić wzór na sinus sumy dla kątów ostrych, to nie ma prostego sposobu na wyprowadzenie stąd wzoru na cosinus sumy. Sztuczki w stylu zamiana na π 2-+ α wymagają znajomości wzoru na sinus sumy dla kątów większych od π2- , a tego większość innych dowodów nie daje.

10 O dowodzie Twierdzenia 11 należy myśleć następująco. Uzasadniliśmy, że pomiędzy współrzędnymi (x,y) w układzie Oxy , a współrzędnymi ′ ′ (x ,y ) w układzie ′ ′ Ox y zachodzi związek

→ → [x,y] = x′ ⋅OP + y′ ⋅OR = [x ′cosα − y′sin α,x′sin α+ y′cosα ].

O wzorze tym należy myśleć jak o wzorze na współrzędne punktu (x′,y ′) po obrocie o kąt . Jeżeli teraz do tego wzoru wstawimy punkt P = (cosβ,sin β) to trzymamy współrzędne punktu P ′ = (cos(α + β),sin(α + β )) .

11Wzory z Twierdzenia 11 mają bardzo prostą interpretację geometryczną w języku twierdzenia sinusów. Zajmiemy się tylko pierwszym wzorem.

Jeżeli trójkąt o kątach i jest wpisany w okrąg o średnicy 1, to z twierdzenia sinusów łatwo zauważyć, że jego boki mają długości sin α,sin β i sin (α+ β) .

ZINFO-FIGURE

Wtedy wzór na sinus sumy sprowadza się do równości BA = BD + DA , gdzie jest wysokością opuszczoną na bok .

Po interpretację drugiego wzoru, jak i po inne dowody Twierdzenia 11 odsyłam czytelnika do www.zadania.info/6783108.

12Twierdzenie 15 ma duże znaczenie teoretyczne, bo pokazuje, że wykonując podstawienie z jego treści, można dowolne wyrażenie z funkcjami trygonometrycznymi zamienić na wyrażenie bez funkcji trygonometrycznych (o ile wszystkie funkcje mają tren sam argument!). W praktyce jest to nagminnie stosowane w rachunku całkowym.

13Twierdzenie 18 jest blisko związane z geometrią pięciokąta foremnego i ma prosty dowód geometryczny – www.zadania.info/3024938

14W Twierdzeniach 17 i 18 wypisaliśmy tylko wartości funkcji sinus i cosinus, ale wyliczenie z nich wartości funkcji tangens i cotangens jest już natychmiastowe.

15Wyznaczone wzory na funkcje trygonometryczne kątów π-, π-, π, π 3 4 5 6 są blisko związane z faktem, że trójkąt równoboczny, kwadrat, pięciokąt i sześciokąt foremny można skonstruować przy pomocy cyrkla i linijki. Tymczasem można udowodnić, że nie da się skonstruować siedmiokąta foremnego, co wiąże się tym, że nie ma wzorków na funkcje kąta .