/Szkoła średnia/Nierówności/Trygonometryczne/Rozwiąż nierówność

Zadanie nr 9818560

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Rozwiąż nierówność -sinx-- ctg x < 2 − 1+ cosx , gdzie x ∈ ⟨0 ;2 π⟩ ;

Rozwiązanie

Aby napisana nierówność miała sens, musi być

cos x ⁄= − 1 ⇒ x ⁄= π sin x ⁄= 0 ⇒ x ⁄∈ {0,π ,2π} .

Druga nierówność jest potrzebna ze względu na dziedzinę ctg x . Teraz przekształcamy podaną nierówność

co-sx ---sin-x-- 0 < − sin x + 2 − 1 + co sx 2 0 < −--cosx-(1+--cosx)-+-2-sin-x-+-2-sin-x-cosx-−-sin--x (sin x)(1 + cos x) − cosx + 2 sinx + 2 sin x cosx − (sin2 x+ cos2x ) 0 < -------------------------------------------------- (sin x)(1+ cosx ) − (1 + co sx) + 2sin x(1 + cos x) 0 < --------------------------------- (sinx )(1 + co sx) (1-+-co-sx)(−-1-+-2-sin-x) 0 < (sinx )(1+ cosx) 0 < −-1-+-2-sin-x ( sinx ) 1 0 < 2 sin x − 2- sin x sin x < 0 ∨ sin x > 1- 2 ( π 5π ) x ∈ (π ,2π) ∨ x ∈ --,--- 6 6

 
Odpowiedź: ( ) x ∈ π6, 5π6 ∪ (π ,2π )

Wersja PDF