/Szkoła średnia/Nierówności/Trygonometryczne/Rozwiąż nierówność

Zadanie nr 9853361

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Rozwiąż nierówność 2 2 cos x + sin x > 1 , gdzie x ∈ ⟨0,2π ⟩ .

Rozwiązanie

Przekształcamy nierówność tak, aby móc podstawić t = sin x .

2 2 cos x+ sin x > 1 2 (1− sin2 x)+ sin x > 1 2 2 − 2 sin x + sin x > 1 / ⋅ (− 1 ) 2 sin2x − sin x− 1 < 0.

Podstawiamy teraz t = sinx .

2t2 − t− 1 < 0 Δ = 1 + 8 = 9 1− 3 1 1 + 3 t1 = -----= − --, t2 = ------= 1 ( 4 ) 2 4 t ∈ − 1,1 2 ( ) sin x ∈ − 1-,1 . 2

Teraz szkicujemy sinus

PIC

i odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

⟨ π ) ( π π ) ( π ⟩ x ∈ 0,-- ∪ --,π + -- ∪ 2π − --,2π ⟨ 2) ( 2 ) 6 ( ⟩6 x ∈ 0, π ∪ π-, 7π ∪ 1-1π ,2π . 2 2 6 6

 
Odpowiedź: ( ⟩ x ∈ ⟨0 , π) ∪ (π-, 7π) ∪ 11π ,2π 2 2 6 6

Wersja PDF