/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2012

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 31 marca 2012 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru a ∈ R , dla których funkcja ax−1- y = a−x jest rosnąca w każdym przedziale, na którym jest określona. Dla a = 2 wyznacz zbiór wartości funkcji.

Zadanie 2
(3 pkt)

Liczby niezerowe a,b,c są wyrazami ciągu geometrycznego o numerach odpowiednio p,r,s . Oblicz wartość wyrażenia

r s p a-b-c-. asbpcr

Zadanie 3
(5 pkt)

Boki prostokąta ABCD mają długości |AB | = 13 i |BC | = 12 . Punkt E jest punktem boku DC takim, że |EC | = 5 , a punkt F jest takim punktem odcinka BE , że |F B| = 2 . Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie ABF .

Zadanie 4
(4 pkt)

Uzasadnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n ≥ 2 spełniona jest równość

(n− 2)⋅ (n− 2)!+ (n − 1 )⋅(n − 1)!+ n ⋅n! = (n + 1)!− (n− 2)!.

Zadanie 5
(4 pkt)

Na zewnątrz równoramiennego trójkąta prostokątnego zbudowano kwadraty – jeden na przyprostokątnej, a drugi na przeciwprostokątnej. Wykaż, że przeciwprostokątna dzieli odcinek łączący środki kwadratów na dwie równe części.

PIC

Zadanie 6
(5 pkt)

Wykaż, że jeżeli π- x ⁄= k⋅ 2 dla k ∈ C to prawdziwa jest tożsamość

2 2 sin-3x-+ 8sin2 x = cos--3x + 8 cos2x . sin 2x cos2x

Zadanie 7
(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości m ∈ R , dla których równanie 2 x − mx + 4 = 0 ma dwa różne pierwiastki spełniające nierówność ∘ -------- x4 + x4 > 7 1 2 .

Zadanie 8
(4 pkt)

Dany jest trójkąt ABC , w którym A = (− 2,2) i B = (2,1) . Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y = 2x + 4 . Wyznacz współrzędne wierzchołka C , dla którego suma kwadratów długości boków trójkąta jest najmniejsza.

Zadanie 9
(4 pkt)

Wielomian W (x) = x3 + mx 2 + nx − 10 ma trzy pierwiastki x1,x2,x3 , przy czym x2 = − 2x1 i x3 = 5x 1 . Wyznacz m i n .

Zadanie 10
(5 pkt)

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD . Trójkąt równoramienny ASD ma ramię długości 15 i jest prostopadły do podstawy ostrosłupa. Krawędź BS ma długość 17. Oblicz cosinus kąta nachylenia płaszczyzny BCE do płaszczyzny podstawy, gdzie E jest środkiem krawędzi SA .

Zadanie 11
(6 pkt)

Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w trzech rzutach symetryczną sześcienną kostką do gry suma kwadratów liczb uzyskanych oczek będzie podzielna przez 5.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania