Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 1480099

Wykaż, że jeżeli liczby całkowite x,y,z spełniają równanie  2 2 2 x + y + z = 2010 to co najwyżej jedna z liczb x ,y,z dzieli się przez 4.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Sposób I

Gdyby wszystkie trzy liczby dzieliły się przez 4, to 2010 dzieliłoby się przez 4, a łatwo sprawdzić, że się nie dzieli.

Musimy zatem wykluczyć możliwość, że dokładnie dwie z liczb dzielą się przez 4. Przypuśćmy przeciwnie, że np. liczby x i y dzielą się, a z nie dzieli się przez 4. Zauważmy, że w takiej konfiguracji z musi być liczbą parzystą (bo inaczej lewa strona równania jest nieparzysta).

W takim razie nasze założenia możemy zapisać w postaci

x = 4a y = 4b z = 4c+ 2,

dla pewnych liczb całkowitych a,b,c . Podstawiając do danego równania mamy

16a2 + 16b2 + 16c2 + 16c + 4 = 2010

Teraz wystarczy zauważyć, że lewa strona dzieli się przez 4, a prawa nie, co stanowi sprzeczność. W takim razie nie jest możliwe, aby dwie spośród liczb x i y dzieliły się przez 4.

Sposób II

Sprawdźmy jakie reszty z dzielenie przez 4 mogą dawać kwadraty liczb całkowitych.

Jeżeli n = 4k to n2 dzieli się przez 4, czyli daje resztę 0.

Jeżeli n = 4k + 1 to n2 = 16k2 + 8k + 1 , więc n2 daje resztę 1.

Jeżeli n = 4k + 2 to n2 = 16k2 + 16k + 4 , więc n2 daje resztę 0.

Jeżeli n = 4k + 3 to  2 2 2 n = 16k + 24k + 9 = 16k + 24k + 8 + 1 , więc  2 n daje resztę 1.

To oznacza, że kwadrat liczby całkowitej zawsze daje resztę 0 lub 1 przy dzieleniu przez 4. Z drugiej strony,

2010 = 5 02⋅ 4+ 2 ,

co oznacza, że reszty dokładnie dwóch spośród liczb x2,y2,z2 to jedynki, a jedna reszta to 0 (jest to jedyna możliwość, żeby w sumie wyszło 2). To oznacza, że co najwyżej jedna z liczb x,y,z może dzielić się przez 4 (ta której kwadrat daje resztę 0).

Uwaga. Można pokazać, że wszystkie naturalne rozwiązania danego równania, w których x < y < z to

(1,28,55), (4,25,37), (5,7,44), (7,19,40), (11,17,40), (16,2

Wszystkie naturalne rozwiązania otrzymamy permutując powyższe trójki, a wszystkie całkowite rozwiązania otrzymamy dodatkowo dowolnie zmieniając znaki liczb x,y,z .

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!