/Szkoła średnia/Liczby

Zadanie nr 1775676

Oblicz log 5 log 31,5 log 0,6 2 3 ⋅ 5 3 ⋅7 3 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Oznaczmy

log 5 log 31,5 log 0,6 x = 2 3 ⋅5 3 ⋅7 3

Logarytmujemy teraz to wyrażenie stronami logarytmem przy podstawie 3.

( log 5 log 31,5 log 0,6) log3x = lo g3 2 3 ⋅5 3 ⋅7 3 = ( ) ( ) ( ) = lo g3 2log35 + log 3 5 log331,5 + log 3 7log30,6 = = lo g35 ⋅log3 2+ log 331,5 ⋅log3 5+ log 30,6 ⋅log37 = = lo g 5 (log 2 + log 31,5) + (log 3− lo g 5) ⋅log 7 = 3 3 3 3 3 3 = lo g35 log36 3+ log 37 − log35 log37 = = lo g 5(log 63 − log 7)+ log 7 = log 5log 9+ log 7 = 3 3 3 3 3 3 3 = 2log 35+ lo g37 = lo g3(25 ⋅7).

Zatem x = 2 5⋅7 = 175 .

Sposób II

Zauważmy najpierw, że

7log30,6 = 7log3 35 = 7(log3 3− log35) = 7 ⋅7− log35.

Ponadto

1 log35 lloog7g53 ( log75) log73 lloog7g73 log37 7 = 7 7 = 7 = 5 7 = 5 .

Zatem

7log30,6 = 7 ⋅7− log35 = 7 ⋅5− log37.

Stąd

31,5- 5log331,5 ⋅ 7log30,6 = 5log331,5 ⋅7⋅ 5−log37 = 7 ⋅5log3 7 = 7 ⋅5log&

Teraz zauważmy jeszcze, że

log 5 log25 ( log 5) lo1g23 log22 log 2 2 3 = 2log23 = 2 2 = 5log23 = 5 3 .

Mamy zatem

2log35 ⋅5log331,5 ⋅7 log30,6 = 5 log32 ⋅ 7⋅5 log34,5 = 7 ⋅5log39 = 7&#

 
Odpowiedź: 175

Wersja PDF