/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2013/Matura próbna

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 6 kwietnia 2013 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(5 pkt)

W kwadracie ABCD o boku długości 1 na boku AB wybrano punkt L . Na bokach BC i AD wybrano odpowiednio punkty M i K tak, że ∘ ∡KLM = 120 , a dwusieczna tego kąta jest równoległa do boku BC . Oblicz długości odcinków LK i LM , dla których pole trójkąta KLM jest największe.

Zadanie 2
(4 pkt)

W półkolu z końca średnicy poprowadzono cięciwę, która tworzy ze średnicą kąt o mierze 15 ∘ . Oblicz w jakim stosunku zostało podzielone pole tego półkola.

Zadanie 3
(6 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru a ⁄= − 1 , dla których wykres funkcji f (x) = ax+x2−aa−-2 nie ma punktów wspólnych z prostą 2 y = aa−+-31 .

Zadanie 4
(4 pkt)

Kąty α,β ,γ trójkąta ABC spełniają zależność

sin α-sin γ-= sin β. 2 2 2

Oblicz wartość wyrażenia α γ- tg 2 tg 2 .

Zadanie 5
(4 pkt)

W czworokącie ABCD spełniony jest warunek |∡ADB | = |∡ACB | . Wykaż, że na czworokącie ABCD można opisać okrąg.

Zadanie 6
(4 pkt)

Kolejne cyfry dodatniej liczby trzycyfrowej tworzą ciąg geometryczny. Suma cyfr jedności i dziesiątek jest o jeden większa od cyfry setek. Jeżeli od szukanej liczby odejmiemy liczbę złożoną z tych samych cyfr, lecz napisanych w odwrotnej kolejności to otrzymamy 495. Znajdź tę liczbę.

Zadanie 7
(6 pkt)

Wyznacz wszystkie liczby m ∈ R , dla których równanie 2 x + mx + m + 4 = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1 i x 2 takie, że x 31 + x 32 = 64 .

Zadanie 8
(4 pkt)

Udowodnij, że jeżeli a,b ≥ 0 , to prawdziwa jest nierówność 4a 3 + b3 ≥ 3ab 2 .

Zadanie 9
(5 pkt)

Obrazem trójkąta ABC o wierzchołkach A = (1,3), B = (2,− 3), C = (− 1,4) w jednokładności o środku S = (2,1) i skali − 3 jest trójkąt KLM . Wyznacz współrzędne wierzchołków trójkąta KLM .

Zadanie 10
(4 pkt)

Ostrosłup prawidłowy trójkątny przecięto płaszczyzną, która przechodzi przez krawędź podstawy długości a oraz jest prostopadła do przeciwległej krawędzi bocznej. Płaszczyzna ta jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α . Oblicz objętość ostrosłupa.

Zadanie 11
(4 pkt)

Na ile sposobów można rozmieścić sześć ponumerowanych kul w pięciu ponumerowanych szufladach tak, aby w każdej szufladzie była przynajmniej jedna kula.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania