Na bokach AD, DC i CB kwadratu ABCD wybrano punkty K, M i L ten... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Różne, 1271760

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Kwadrat/Różne

Zadanie nr 1271760

Na bokach $AD$ , $DC$ i $CB$ kwadratu $ABCD$ wybrano punkty $K$ , $M$ i $L$ ten sposób, że $|DK | = 2|KA |$ , $|DM | = 2 |MC |$ , oraz $|BL | = 2|LC |$ .

Uzasadnij, że trójkąt $KLM$ jest prostokątny.
Oblicz tangensy kątów ostrych trójkąta $KLM$ .

Rozwiązanie

Sposób I

Z podanych informacji wynika, że trójkąty $DKM$ i $MLC$ są równoramienne. W szczególności miary ich kątów ostrych wynoszą $∘ 45$ . Stąd
$∡KML = 180∘ − ∡KMD − ∡LMC = 90∘.$

Sposób II

Na mocy twierdzenia Talesa prosta $KM$ jest równoległa do przekątnej $AC$ . Podobnie, prosta $LM$ jest równoległa do przekątnej $BD$ . Ponieważ przekątne kwadratu są prostopdałe, to prostopadłe są również proste $KM$ i $LM$ .
Oznaczmy bok kwadratu przez $a$ . Korzystając z twierdzenia Pitagorasa wyliczmy długości odcinków $KM$ i $LM$ . $∘ ------------------ √ -- ∘ ------------- ( 2 ) 2 ( 2 ) 2 2 2 KM = KD 2 + DM 2 = -a + -a = -----a ∘ ---3---------3---- 3 ∘ ------------ ( )2 ( ) 2 √ -- LM = MC 2 + CL 2 = 1a + 1a = --2a. 3 3 3$
Stąd szukane tangensy wynoszą
$√ - ML -32a 1 tg ∡MKL = ---- = 2√2--= -- MK -3--a 2 2√2- tg ∡MLK = MK-- = √3--a= 2. ML --2a 3$

Odpowiedź: $1 2$ i 2