/Studia/Analiza/Ciągi

Zadanie nr 9535794

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Oblicz granicę ciągu ( 1 )n nl→im+∞ 1 + √n- .

Rozwiązanie

Gdybyśmy mieli

( ) √n lim 1 + √1-- , n→ + ∞ n

to granicą byłoby e . Mamy jednak w wykładniku n , które zbiega do + ∞ znacznie szybciej niż √n-- . Zatem powinno być jasne, że ciąg będzie rozbieżny do + ∞ (bo e > 1 ).

Sposób I

Aby to porządnie uzasadnić, zapiszmy

( )n ( ( ) √n) √nn- 1+ √1-- = 1 + √-1- n n

Jak już zauważyliśmy, ciąg w nawiasie zbiega do e ≈ 2,72 , zatem od pewnego miejsca jego wyrazy będą większe od 2. Mamy wtedy nierówność

( ( )√n-) √nn -1-- n√n 1+ √n-- > 2 .

Prawa strona jest rozbieżna do + ∞ , więc lewa też.

Sposób II

Korzystamy z nierówności Bernoulliego:

( )n 1 + √1-- ≥ 1+ √1--⋅n = 1+ √n-. n n

Ciąg otrzymany z prawej strony jest rozbieżny do + ∞ , więc ciąg z lewej strony też ma tę własność.  
Odpowiedź: + ∞

Wersja PDF