/Szkoła średnia/Funkcje/Kwadratowa/Z parametrem/3 literki

Zadanie nr 4459958

Wyznacz wzór ogólny funkcji kwadratowej, której najmniejszą wartością jest − 6 , a miejscami zerowymi są liczby − 5 i 3.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Podane miejsca zerowe oznaczają, że funkcja f ma wzór postaci

f(x ) = a(x + 5)(x − 3).

Wiemy ponadto, że funkcja ta przyjmuje wartość najmniejszą, więc a > 0 (ramiona paraboli muszą być skierowane w górę). W takiej sytuacji funkcja f przyjmuje wartość najmniejszą dokładnie w środku między pierwiastkami, czyli dla

−-5-+-3 x = 2 = − 1.

Mamy zatem

-6- 3- − 6 = f(− 1) = a(− 1 + 5)(− 1 − 3) = − 16a ⇒ a = 16 = 8

oraz

3 3 3 3 45 f(x ) = -(x + 5 )(x− 3) = --(x2 + 2x− 15) = --x2 + -x − --. 8 8 8 4 8

Sposób II

Jeżeli parabola będąca wykresem funkcji f ma przyjmować wartość najmniejszą, to jej ramiona muszą być skierowane w górę. Znamy ponadto jej miejsca zerowe, więc możemy obliczyć pierwszą współrzędną jej wierzchołka

− 5+ 3 xw = ------- = − 1. 2

Funkcja f ma więc postać kanoniczną

2 f (x) = a(x + 1) − 6.

Współczynnik a obliczamy podstawiając jedno z miejsc zerowych.

6 3 0 = f (3) = a(3 + 1)2 − 6 = 16a − 6 ⇒ a = ---= -. 16 8

Mamy zatem

3 3 3 3 45 f(x) = -(x + 1)2 − 6 = -(x2 + 2x + 1) − 6 = -x2 + --x− --. 8 8 8 4 8

Na koniec wykres funkcji y = f (x) .

PIC

 
Odpowiedź: f (x) = 38x 2 + 34 x− 485

Wersja PDF