/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt

Zadanie nr 6568123

W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długości √ --- |BC | = 8, |CA | = 17 . Na boku wybrano punkt tak, że |AD | = 2 . Oblicz sinus kąta DCA .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Obliczmy długość przeciwprostokątnej

∘ ------------ √ -------- √ --- AB = BC 2 + CA 2 = 64+ 17 = 81 = 9.

Zatem BD = 9− 2 = 7 .

Sposób I

Stosując twierdzenie sinusów w trójkątach ADC i BCD mamy

√ --- AD---= -AC-- ⇒ -2---= --17- sin β sin γ sin β sinγ BD BC 7 8 ------∘------= -------∘------ ⇒ ----- = -----. sin (90 − β) sin(180 − γ ) cos β sin γ

Teraz z obu równości wyliczamy sin γ i porównujemy otrzymane wartości.

√ --- --17-sinβ = 8-cosβ / ()2 2 7 17- 2 64- 2 4 sin β = 49 cos β 17 64 ---sin2β = ---(1 − sin2 β) (4 ) 49 17- 64- 2 6-4 4 + 49 sin β = 4 9 833 + 25 6 6 4 ----------sin2 β = --- 4 ⋅49 4 9 2 64- 4⋅49-- 64-⋅4- sin β = 49 ⋅ 1089 = 332 .

Zatem sin β = 1363 .

Sposób II

Tym razem skorzystamy z twierdzenia cosinusów. Korzystając z tego twierdzenia obliczamy długość odcinka .

2 2 2 DC = AD + AC − 2AD ⋅AC cos α = √ --- √ --- = 4 + 17 − 2 ⋅2⋅ 17⋅ --17-= 21− 68-= 121- 9 9 9 11- DC = 3 .

Teraz korzystamy z twierdzenia sinusów w trójkącie ADC .

AD DC -----= ----- sin β sin α 2 11 33 -----= 38--= --- sin β 9 8 2 16 sin β = 33-= 33. 8

Odpowiedź: 1363

Rozwiązanie Losuj ponownie