Czworokąt/Planimetria/Geometria - zadania z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt

Okrąg przecina boki czworokąta ABCD kolejno w punktach A 1,A 2,B1,B2,C 1,C2,D 1,D 2 (zobacz rysunek).

Wykaż, że jeżeli |A 1A2| = |B1B 2| = |C 1C2| = |D 1D 2| , to w czworokąt ABCD można wpisać okrąg.

Kąt ostry między przekątnymi równoległoboku ABCD ma miarę ∘ 60 . Przekątna ma długość 6, a przekątna jest prostopadła do boku . Oblicz długości boków równoległoboku.

W czworokącie wypukłym ABCD (zobacz rysunek poniżej) dane są kąty: |∡ADC | = |∡ABC | = 90∘ oraz |∡DCB | = 135∘ . Wykaż, że √- |DB-|= -2- |AC | 2 .

Na bokach i kwadratu ABCD o boku długości 1 wybrano punkty i w ten sposób, że AE = 1k i DF = m1 , dla k,m ∈ (1,+ ∞ ) . Niech będzie punktem przecięcia odcinków i

Wykaż, że jeżeli trójkąt jest prostokątny to .
Oblicz cosinus kąta jeżeli i .

Dany jest trapez prostokątny ABCD o podstawach i , w którym boki i są prostopadłe. Dwusieczne kątów i przecinają się w punkcie leżącym na boku . Wykaż, że |BS | = |SC | .

Ramię trapezu równoramiennego ABCD ma długość √ --- 26 . Przekątne w tym trapezie są prostopadłe, a punkt ich przecięcia dzieli je w stosunku 2:3. Oblicz pole tego trapezu.

Dany jest prostokąt o polu 12, w którym długość przekątnej jest liczbą z przedziału ⟨5,6⟩ . Wykaż, że obwód tego prostokąta jest liczbą z przedziału √ --- ⟨14 ,4 15⟩ .

Na bokach i rombu ABCD wybrano odpowiednio punkty i tak, że |AE | = |AF | . Pole pięciokąta BCDF E jest 17 razy większe niż pole trójkąta AEF . Punkt jest punktem wspólnym odcinka i przekątnej . Oblicz Oblicz |AG-| |AC | .

Na bokach , i kwadratu ABCD wybrano punkty , i ten sposób, że |DK | = 2|KA | , |DM | = 2 |MC | , oraz |BL | = 2|LC | .

Uzasadnij, że trójkąt jest prostokątny.
Oblicz tangensy kątów ostrych trójkąta .

Pole rombu jest równe 120. Gdyby zwiększyć długości jego przekątnych odpowiednio o 2 i 5 to pole wzrosłoby o 55. Oblicz obwód rombu. Podaj wszystkie możliwe odpowiedzi.

W prostokąt wpisano trzy parami styczne okręgi w ten sposób, że dwa z nich są styczne do trzech boków, prostokąta, a trzeci jest styczny do jednego z boków prostokąta (patrz rysunek). Oblicz promień mniejszego okręgu jeżeli promień większego okręgu jest równy .

Przekątne czworokąta ABCD są prostopadłe. Wykaż, że |AB |2 + |CD |2 = |BC |2 + |DA |2 .

Dany jest czworokąt wypukły ABCD niebędący równoległobokiem. Punkty M ,N są odpowiednio środkami boków i . Punkty P ,Q są odpowiednio środkami przekątnych i . Uzasadnij, że MQ ∥ PN .

Ukryj Podobne zadania

Dany jest czworokąt wypukły ABCD niebędący równoległobokiem. Punkty M ,N są odpowiednio środkami boków i . Punkty P ,Q są odpowiednio środkami przekątnych i . Uzasadnij, że czworokąt MQNP jest równoległobokiem.

W prostokącie ABCD , w którym stosunek długości boków i jest równy 4:3, poprowadzono dwusieczne kątów ADB i BDC . Dwusieczne te przecinają boki i odpowiednio w punktach i . Oblicz stosunek pola prostokąta ABCD do pola trójkąta DKM .

Wszystkie wierzchołki czworokąta ABCD leżą na okręgu oraz ∡A = α . Oblicz miarę kąta .

Na zewnątrz kwadratu ABCD na bokach i zbudowano trójkąty równoboczne AEB i BF C . Uzasadnij, że trójkąt DEF jest równoboczny.

Długość ramienia trapezu jest równa , a odległość od niego środka przeciwległego ramienia jest równa . Wyznacz pole trapezu.

W kole o promieniu poprowadzono średnicę i równoległą do niej cięciwę . Oblicz pole powstałego trapezu ABCD , jeżeli kąt ostry tego trapezu ma miarę .

Różnica kwadratów długości przekątnych trapezu prostokątnego wynosi 21, jego wysokość ma długość 4, a dłuższe ramię ma długość 5. Oblicz pole trapezu.

Przeciwległe boki czworokąta ABCD wpisanego w okrąg przecinają się w punktach i (zobacz rysunek), przy czym odcinek jest zawarty w dwusiecznej kąta DEF , a odcinek jest zawarty w dwusiecznej kąta DF E . Wykaż, że |∡EDF | = 6 0∘ .

Strona 1 z 22