Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Wyszukiwanie zadań

Okrąg przecina boki czworokąta ABCD kolejno w punktach A 1,A 2,B1,B2,C 1,C2,D 1,D 2 (zobacz rysunek).


PIC


Wykaż, że jeżeli |A 1A2| = |B1B 2| = |C 1C2| = |D 1D 2| , to w czworokąt ABCD można wpisać okrąg.

Kąt ostry między przekątnymi równoległoboku ABCD ma miarę  ∘ 60 . Przekątna AC ma długość 6, a przekątna BD jest prostopadła do boku AD . Oblicz długości boków równoległoboku.

W czworokącie wypukłym ABCD (zobacz rysunek poniżej) dane są kąty: |∡ADC | = |∡ABC | = 90∘ oraz |∡DCB | = 135∘ . Wykaż, że  √- |DB-|= -2- |AC | 2 .


PIC


Na bokach AD i CD kwadratu ABCD o boku długości 1 wybrano punkty E i F w ten sposób, że AE = 1k i DF = m1 , dla k,m ∈ (1,+ ∞ ) . Niech S będzie punktem przecięcia odcinków AF i BE


PIC


  • Wykaż, że jeżeli trójkąt ABS jest prostokątny to k = m .
  • Oblicz cosinus kąta ASB jeżeli k = 3 i m = 2 .

Dany jest trapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD , w którym boki AB i BC są prostopadłe. Dwusieczne kątów A i D przecinają się w punkcie S leżącym na boku BC . Wykaż, że |BS | = |SC | .

Ramię trapezu równoramiennego ABCD ma długość √ --- 26 . Przekątne w tym trapezie są prostopadłe, a punkt ich przecięcia dzieli je w stosunku 2:3. Oblicz pole tego trapezu.

Dany jest prostokąt o polu 12, w którym długość przekątnej jest liczbą z przedziału ⟨5,6⟩ . Wykaż, że obwód tego prostokąta jest liczbą z przedziału  √ --- ⟨14 ,4 15⟩ .

Na bokach AD , DC i CB kwadratu ABCD wybrano punkty K , M i L ten sposób, że |DK | = 2|KA | , |DM | = 2 |MC | , oraz |BL | = 2|LC | .

  • Uzasadnij, że trójkąt KLM jest prostokątny.
  • Oblicz tangensy kątów ostrych trójkąta KLM .

PIC

Pole rombu jest równe 120. Gdyby zwiększyć długości jego przekątnych odpowiednio o 2 i 5 to pole wzrosłoby o 55. Oblicz obwód rombu. Podaj wszystkie możliwe odpowiedzi.

W prostokąt wpisano trzy parami styczne okręgi w ten sposób, że dwa z nich są styczne do trzech boków, prostokąta, a trzeci jest styczny do jednego z boków prostokąta (patrz rysunek). Oblicz promień mniejszego okręgu jeżeli promień większego okręgu jest równy R .


PIC


Przekątne czworokąta ABCD są prostopadłe. Wykaż, że |AB |2 + |CD |2 = |BC |2 + |DA |2 .

Dany jest czworokąt wypukły ABCD niebędący równoległobokiem. Punkty M ,N są odpowiednio środkami boków AB i CD . Punkty P ,Q są odpowiednio środkami przekątnych AC i BD . Uzasadnij, że MQ ∥ PN .

*Ukryj

Dany jest czworokąt wypukły ABCD niebędący równoległobokiem. Punkty M ,N są odpowiednio środkami boków AB i CD . Punkty P ,Q są odpowiednio środkami przekątnych AC i BD . Uzasadnij, że czworokąt MQNP jest równoległobokiem.

W prostokącie ABCD , w którym stosunek długości boków AB i BC jest równy 4:3, poprowadzono dwusieczne kątów ADB i BDC . Dwusieczne te przecinają boki AB i CB odpowiednio w punktach K i M . Oblicz stosunek pola prostokąta ABCD do pola trójkąta DKM .

Wszystkie wierzchołki czworokąta ABCD leżą na okręgu oraz ∡A = α . Oblicz miarę kąta ∡C .


PIC


Na zewnątrz kwadratu ABCD na bokach AB i BC zbudowano trójkąty równoboczne AEB i BF C . Uzasadnij, że trójkąt DEF jest równoboczny.


PIC


Długość ramienia trapezu jest równa m , a odległość od niego środka przeciwległego ramienia jest równa q . Wyznacz pole trapezu.

W kole o promieniu R poprowadzono średnicę AB i równoległą do niej cięciwę CD . Oblicz pole powstałego trapezu ABCD , jeżeli kąt ostry tego trapezu ma miarę α .

Różnica kwadratów długości przekątnych trapezu prostokątnego wynosi 21, jego wysokość ma długość 4, a dłuższe ramię ma długość 5. Oblicz pole trapezu.

Przeciwległe boki czworokąta ABCD wpisanego w okrąg przecinają się w punktach E i F (zobacz rysunek), przy czym odcinek EC jest zawarty w dwusiecznej kąta DEF , a odcinek FA jest zawarty w dwusiecznej kąta DF E . Wykaż, że |∡EDF | = 6 0∘ .


PIC


W trapez prostokątny można wpisać okrąg. Jedna z jego podstaw ma długość a , druga jest trzy razy dłuższa. Oblicz pole trapezu oraz długość odcinka łączącego środki ramion trapezu.

Strona 1 z 20>>>>