Czworokąt/Planimetria/Geometria - zadania z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt

Przeciwległe boki czworokąta ABCD wpisanego w okrąg przecinają się w punktach i (zobacz rysunek), przy czym odcinek jest zawarty w dwusiecznej kąta DEF , a odcinek jest zawarty w dwusiecznej kąta DF E . Wykaż, że |∡EDF | = 6 0∘ .

ZINFO-FIGURE

W trapez prostokątny można wpisać okrąg. Jedna z jego podstaw ma długość , druga jest trzy razy dłuższa. Oblicz pole trapezu oraz długość odcinka łączącego środki ramion trapezu.

Na rysunku przedstawiono kwadrat ABCD . Punkty i są środkami boków i . Uzasadnij, że odcinki i są prostopadłe.

Punkt jest środkiem boku prostokąta ABCD , w którym AB > BC . Punkt leży na boku tego prostokąta oraz ∡AEF = 90 . Udowodnij, że ∡BAE = ∡EAF .

Dany jest prostokąt o polu 2 72 cm . Gdyby zwiększyć długość jednego z boków o 2 cm, a drugi bok zmniejszyć o 3 cm, to pole nie ulegnie zmianie. Oblicz długości boków danego prostokąta.

Ukryj Podobne zadania

Dany jest prostokąt o polu 2 1 44 cm . Gdyby zwiększyć długość jednego z boków o 8 cm, a drugi bok zmniejszyć o 3 cm, to pole nie ulegnie zmianie. Oblicz długości boków danego prostokąta.

Przekątne trapezu ABCD przecinają się w punkcie , jego podstawy mają długości |AB | = 12 i |CD | = 9 , a wysokość trapezu ma długość 8. Punkt jest środkiem odcinka (zobacz rysunek).

Oblicz pole trójkąta CDK .

Krótsza podstawa trapezu ma długość 2, a ramiona długości √ -- 2 2 i 4 tworzą z dłuższą podstawą kąty o miarach 45∘ i 30∘ . Oblicz pole trapezu.

Ukryj Podobne zadania

Krótsza podstawa trapezu ma długość √ -- 3 , a ramiona długości √ -- 3 2 i 6 tworzą z dłuższą podstawą kąty o miarach 45∘ i 3 0∘ odpowiednio. Oblicz pole trapezu.

Długości boków równoległoboku ABCD wynoszą 1 i √ -- 3 , a kąt przy wierzchołku ma miarę 150∘ . Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie ABD .

O ile procent zmniejszy się pole rombu, jeśli jedną przekątną rombu zwiększymy o 20%, a drugą przekątną skrócimy o 40%?

Dwusieczne czworokąta ABCD wpisanego w okrąg przecinają się w czterech różnych punktach: P,Q ,R ,S (zobacz rysunek).

Wykaż, że na czworokącie PQRS można opisać okrąg.

Ukryj Podobne zadania

Z wierzchołków czworokąta ABCD poprowadzono półproste, które przecinają się w wierzchołkach czworokąta PQRS wpisanego w okrąg (zobacz rysunek).

Wykaż, że jeżeli półproste AP , BP i są dwusiecznymi odpowiednio kątów DAB , ABC i BCD , to półprosta jest dwusieczną kąta CDA .

Dany jest prostokąt ABCD , którego jeden bok jest dwa razy dłuższy od drugiego. Na boku zbudowano trójkąt równoboczny CDE (zobacz rysunek). Punkt jest takim punktem odcinka , że |∡BKC | = 7 5∘ . Udowodnij, że punkt jest środkiem odcinka .

Długości boków czworokąta ABCD są równe: |AB | = 2, |BC | = 3 , |CD | = 4, |DA | = 5 . Na czworokącie ABCD opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej tego czworokąta.

Ukryj Podobne zadania

Długości boków czworokąta ABCD są równe: |AB | = 3, |BC | = 6 , |CD | = 5, |DA | = 4 . Na czworokącie ABCD opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej tego czworokąta.

Dany jest trapez prostokątny (zobacz rysunek).

Wyznacz obwód tego trapezu, jeżeli miara kąta przy wierzchołku wynosi 30 ∘ .

Punkt leży wewnątrz prostokąta ABCD (zob. rysunek). Udowodnij, że AM 2 + CM 2 = BM 2 + DM 2 .

Dany jest kwadrat ABCD . Przekątne i przecinają się w punkcie . Punkty i są środkami odcinków – odpowiednio – i . Punkty i leżą na przekątnej tak, że |BL | = 13|BE | i |DN | = 13|DE | (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta KLMN do pola kwadratu ABCD jest równy 1:3.

Ukryj Podobne zadania

Dany jest kwadrat ABCD . Przekątne i przecinają się w punkcie . Punkty i są środkami odcinków – odpowiednio – i . Punkty i leżą na przekątnej tak, że |AK | = 14|AE | i |CM | = 14|CE | (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta KLMN do pola kwadratu ABCD jest równy 3:8.

Koło i kwadrat mają równe obwody. Wykaż, że pierwsza z tych ﬁgur ma większe pole.

Niech i będą długościami kolejnych boków równoległoboku ABCD , zaś i długościami jego przekątnych. Wykaż, że a2 + b2 ≥ pr .

Wykaż, że jeżeli w czworokącie ABCD dwusieczne kątów przy wierzchołkach i przecinają dwusieczne kątów przy wierzchołkach i w czterech różnych punktach, to punkty te leżą na pewnym okręgu.

W trójkącie równoramiennym dane są długości podstawy a = 12 cm i wysokości h = 18 cm. W trójkąt ten wpisano prostokąt w ten sposób, że dwa wierzchołki prostokąta leżą na podstawie, a po jednym na każdym ramieniu trójkąta, przy czym przekątne prostokąta są równoległe do ramion trójkąta. Oblicz długości boków prostokąta.

W czworokącie wypukłym ABCD poprowadzono przekątną . Okręgi wpisane w trójkąty ABC i ACD są styczne zewnętrznie. Wykaż, że w czworokąt ABCD można wpisać okrąg.

Strona 2 z 23