Czworokąt/Planimetria/Geometria - zadania z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt

W deltoidzie ABCD dane są |AB | = 4 , |BC | = 5 oraz |∡ABC | = |∡BCD | = |∡ADC | . Oblicz długość przekątnej tego deltoidu.

Jeżeli skrócimy wysokość trapezu o polu 2 1 05 cm o 2 cm i jednocześnie wydłużymy każdą z jego podstaw o 6 cm, to pole trapezu nie ulegnie zmianie. Wyznacz długość wysokości trapezu (przed zmianą).

W trapezie ABCD ( AB ∥ DC ) przekątne i przecinają się w punkcie takim, że |AO | : |OC | = 5 : 1 . Pole trójkąta AOD jest równe 10. Uzasadnij, że pole trapezu ABCD jest równe 72.

Ukryj Podobne zadania

W trapezie ABCD ( AB ∥ DC ) przekątne i przecinają się w punkcie takim, że |AO | : |OC | = 4 : 1 . Pole trójkąta DOC jest równe 2. Uzasadnij, że pole trapezu ABCD jest równe 50.

W trójkącie ABC kąt wewnętrzny przy wierzchołku ma miarę ∘ 50 , a kąt wewnętrzny przy wierzchołku ma miarę 60 ∘ . Okrąg przechodzi przez punkt i przecina boki i trójkąta odpowiednio w punktach i . Okrąg o 2 przechodzi przez punkt , przecina okrąg o 1 w punkcie oraz w punkcie leżącym wewnątrz trójkąta ABC . Ponadto okrąg przecina bok trójkąta w punkcie .

Udowodnij, że na czworokącie CEF G można opisać okrąg.

Czworokąt ABCD jest trapezem o podstawach i . Wykaż że

|AC |2 + |BD |2 = |AD |2 + |BC |2 + 2|AB |⋅|DC |.

Jedna z podstaw trapezu wpisanego w okrąg jest średnicą okręgu. Oblicz cosinus kąta ostrego trapezu wiedząc, że stosunek obwodu trapezu do sumy długości jego podstaw wynosi 3:2.

W trapezie równoramiennym ABCD przekątna jest prostopadła do ramienia i tworzy z dłuższą podstawą trapezu kąt o mierze 30∘ . Oblicz pole powierzchni tego trapezu wiedząc, że długość przekątnej wynosi 12 √ 3- .

Ukryj Podobne zadania

W trapezie równoramiennym ABCD przekątna jest prostopadła do ramienia. Kąt ostry trapezu ma miarę 60∘ . Oblicz pole powierzchni tego trapezu wiedząc, że długość przekątnej wynosi √ -- 16 3 .

Kąt ostry rombu ABCD ma miarę ∘ |∡A | = 6 0 . Na bokach i wybrano punkty i w ten sposób, że |AK | = |BL | . Uzasadnij, że trójkąt KLD jest trójkątem równobocznym.

Ramiona trapezu opisanego na okręgu mają długości 3 cm i 5 cm. Odcinek łączący środki ramion dzieli trapez na dwie ﬁgury, których stosunek pól wynosi 5:11. Oblicz długości podstaw trapezu.

Ukryj Podobne zadania

W trapezie opisanym na okręgu ramiona mają długości 6 i 10. Odcinek łączący środki tych ramion dzieli trapez na dwie części, których pola pozostają w stosunku 5:11. Wyznacz długości podstaw tego trapezu.

W trapezie opisanym na okręgu boki nierównoległe mają długości 3 i 5, zaś odcinek łączący środki tych boków dzieli trapez na dwie części, których pola są w stosunku 5:11. Oblicz długości podstaw trapezu.

Wykaż, że proste przechodzące przez wierzchołek równoległoboku i środki boków, do których on nie należy, dzielą przekątną równoległoboku na trzy równe części.

Wykaż, że w dowolnym równoległoboku suma kwadratów długości przekątnych jest równa sumie kwadratów długości wszystkich boków.

Przekątna równoległoboku ABCD tworzy z jego bokami kąty o miarach 30 ∘ i 45∘ . Oblicz stosunek 2 |BD|2 |AC| kwadratów długości przekątnych tego równoległoboku.

Pole trapezu równoramiennego opisanego na okręgu jest równe , a kąt ostry przy podstawie ma miarę . Wykaż, że ramię tego trapezu ma długość ∘ ---- -S-- sinα .

W prostokącie ABCD , w którym |BC | = 8 połączono wierzchołek z punktem leżącym na boku . Odcinek ten przeciął przekątną w punkcie .

Wiedząc, że odległość punktu od boku jest równa 4, oraz że |AE | = 10 oblicz długość boku prostokąta.

Czworokąt AF EC jest wpisany w okrąg i jego przekątna przecina okrąg opisany na trójkącie ACD w punkcie (zobacz rysunek).

Zachodzi ponadto równość |∡BF E | = |∡CDB | . Udowodnij, że punkty F ,B i są współliniowe.

Przekątne podzieliły czworokąt na 4 trójkąty.

Korzystając z podanych pól trzech z tych trójkątów, wyznacz pole trójkąta ABS .

W pewnym trapezie kąty przy dwóch przeciwległych wierzchołkach mają miary oraz 90∘ + α . Jedno z ramion tego trapezu ma długość . Wyznacz różnicę długości podstaw tego trapezu.

Podstawy trapezu ABCD mają długości AB = a i CD = b . Oblicz długość odcinka łączącego środki ramion trapezu.

Dany jest czworokąt wypukły ABCD niebędący równoległobokiem. Punkty M ,N są odpowiednio środkami boków i . Punkty P ,Q są odpowiednio środkami przekątnych i . Uzasadnij, że jeżeli odcinki i są prostopadłe, to |AD | = |BC | .