Zadanie nr 1502808

W trapez prostokątny można wpisać okrąg. Jedna z jego podstaw ma długość , druga jest trzy razy dłuższa. Oblicz pole trapezu oraz długość odcinka łączącego środki ramion trapezu.

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

Druga część zadania jest bardzo łatwa. Szukany odcinek jest równoległy do podstaw (tw. Talesa) i składa się z dwóch części: odcinka ES = a oraz , który jest równy połowie C′B (np. z podobieństwa trójkątów CSF i ′ CC B lub z twierdzenia Talesa), czyli też . Zatem

EF = 2a.

Jeżeli ktoś lubi różne wzorki, to w dowolnym trapezie o podstawach i odcinek łączący środki ramion ma długość a+b-- 2 . Oczywiście zgadza się to z naszymi wyliczeniami.

Aby obliczyć pole trapezu, musimy wyznaczyć jego wysokość . Na mocy twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta CC ′B mamy

(CC ′)2 + C′B 2 = CB 2 2 2 2 h + (2a) = CB .

Ponadto, musimy w końcu wykorzystać fakt, że trapez jest opisany na okręgu. Oznacza to, że sumy przeciwległych boków są równe (ta własność w pełni charakteryzuje czworokąty opisane na okręgu, co warto zapamiętać). Zatem