/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt

Zadanie nr 2575707

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W trapez ABCD , gdzie AB ∥ CD i |AB | > |CD | , wpisano okrąg (patrz rysunek).

PIC

Dwusieczna kąta ostrego przy wierzchołku A jest prostopadła do ramienia |BC | .

  • Wykaż, że dwusieczna kąta przy wierzchołku D jest równoległa do ramienia BC .
  • Oblicz |BC | : |DC | .

Rozwiązanie

Niech S będzie środkiem okręgu wpisanego w trapez.

PIC

  • Dorysujmy odcinek DS i oznaczmy ∡B = α . Z trójkąta prostokątnego ABE mamy
    ∘ ∡BAE = 9 0 − α.

    Ponieważ promień DS jest zawarty w dwusiecznej kąta D mamy

    1- 1- ∘ 1- ∘ ∘ ∡SDC = 2 ∡D = 2(180 − ∡A ) = 2(1 80 − 2 ∡BAE ) = 90 − ∡BAE = α.

    Zatem odcinki DS i CB tworzą takie same kąty z równoległymi prostymi AB i CD . Są więc równoległe.

  • Przedłużmy promień DS do jego przecięcia F z podstawą AB . Z poprzedniego podpunkty wiemy, że czworokąt DF BC jest równoległobokiem. Znamy ponadto długości dwóch jego wysokości: SE = r i CG = 2r , gdzie r jest długością promienia okręgu wpisanego. Licząc pole równoległoboku DF BC na dwa sposoby otrzymujemy
    CD ⋅CG = P = BC ⋅SE DFBC CD ⋅2r = BC ⋅r BC 2r ----= ---= 2. DC r

     
    Odpowiedź: 2

Wersja PDF