/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt

Zadanie nr 2835850

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Długości boków równoległoboku są równe 6 i 10, a jego pole wynosi 36. Oblicz długości przekątnych tego równoległoboku.

Rozwiązanie

Sposób I

Zaczynamy od rysunku.

PIC

Ponieważ znamy długości boków oraz pole równoległoboku, możemy łatwo obliczyć długość jego wysokości.

36- 18- AB ⋅DE = 36 ⇒ DE = 10 = 5

Zajmijmy się teraz przekątną DB . Można ją wyliczyć z trójkąta prostokątnego BDE , ale najpierw musimy wyliczyć długość odcinka BE = 10 − AE . Liczymy (z trójkąta AED )

--------- ∘ ------------ ∘ 182 ∘ -----9- ∘ 16- 24 AE = AD 2 − DE 2 = 36 − ----= 6 1 − --- = 6 ---= --- 25 2 5 25 5 50−--24- 26- BE = 10 − AE = 5 = 5 ∘ ------------ ∘ ---2-----2- √ --------- √ ---- √ --- BD = DE 2 + BE 2 = 1-8-+ 26--= 2--81-+-169-= 2--25-0 = 2 1 0. 25 2 5 5 5

Podobnie obliczamy długość drugiej przekątnej. Tym razem patrzymy na trójkąt AF C , gdzie AF jest wysokością opuszczoną na bok CD z wierzchołka A .

∘ -------(--------)-- ∘ ----------- ∘ --------------------- 18 2 24 2 AC = AF 2 + F C2 = DE 2 + (CD + AE )2) = ----+ 10 + --- = ∘ ----------- √ ---------- √ ----- 25 5 18 2 742 2 81 + 1369 2 14 50 √ --- = ----+ ----= -------------= -------- = 2 5 8. 25 25 5 5

Sposób II

Tym razem skorzystamy z twierdzenia cosinusów.

PIC

Oznaczmy tak jak na obrazku ∡A = α i przyjmijmy α < 90∘ (wtedy ∡B > 90∘ ). Ze wzoru na pole równoległoboku z sinusem mamy

3 6 = 6⋅ 10⋅ sin α ⇒ sin α = 36-= 3. 60 5

Zatem

∘ ------- ∘ -------2-- -9- 4- c osα = 1− sin α = 1− 25 = 5 4 c os∡B = cos(180∘ − α) = − cosα = − -. 5

Piszemy teraz twierdzenie cosinusów w trójkącie ABD .

2 2 2 BD = AB + AD − 2AB ⋅ AD cosα 2 4- BD = 100 + 36 − 2 ⋅10 ⋅6⋅ 5 = 4 0 √ --- BD = 2 10.

Teraz piszemy twierdzenie cosinusów w trójkącie ABC .

2 2 2 AC = AB + BC − 2AB ⋅ BC cos ∡B 2 4- AC = 100+ 36 + 2⋅ 10⋅ 6⋅ 5 = 232 √ --- AC = 2 58.

 
Odpowiedź: √ --- √ --- 2 10 , 2 58

Wersja PDF