/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt

Zadanie nr 4377898

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W trapezie opisanym na okręgu ramiona mają długości 6 i 10. Odcinek łączący środki tych ramion dzieli trapez na dwie części, których pola pozostają w stosunku 5:11. Wyznacz długości podstaw tego trapezu.

Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku oraz obserwacji, że odcinek łączący środki ramion trapezu o podstawach a i b ma długość a+2b- – uzasadnienie łatwo odczytać z prawego rysunku.

PIC

Ponieważ w trapez można wpisać okrąg, sumy przeciwległych boków są sobie równe. Jeżeli więc oznaczymy CD = a , to mamy

AB = AD + BC − CD = 1 6− a .

W szczególności odcinek łączący środki ramion trapezu ma długość

a-+-(1-6−-a-)= 8. 2

Trapezy, na które został podzielony trapez tym odcinkiem mają taką samą wysokość h (połowa wysokości trapezu ABCD ) oraz podstawy a,8 i 8,16 − a odpowiednio. Zatem stosunek ich pól wynosi

5 a+8-⋅h a + 8 ---= 8+-216−a---- = ------- 11 ---2---⋅ h 2 4− a 5(24 − a) = 11(a+ 8) 120 − 5a = 11a + 88 32 = 16a ⇒ a = 2 .

Stąd AB = 1 6− a = 14 .  
Odpowiedź: 2 i 14

Wersja PDF