/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt

Zadanie nr 7349701

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W trapezie opisanym na okręgu boki nierównoległe mają długości 3 i 5, zaś odcinek łączący środki tych boków dzieli trapez na dwie części, których pola są w stosunku 5:11. Oblicz długości podstaw trapezu.

Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku oraz obserwacji, że odcinek łączący środki ramion trapezu o podstawach a i b ma długość a+2b- – uzasadnienie łatwo odczytać z prawego rysunku.

PIC

Ponieważ w trapez można wpisać okrąg, sumy przeciwległych krawędzi są sobie równe. Jeżeli więc oznaczymy CD = a , to mamy

AB = AD + BC − CD = 8 − a.

W szczególności odcinek łączący środki ramion trapezu ma długość

a-+-(8-−-a) = 4 . 2

Trapezy na które został podzielony trapez tym odcinkiem mają taką samą wysokość h (połowa wysokości trapezu ABCD ) oraz podstawy a,4 i 4,8 − a odpowiednio. Zatem stosunek ich pól wynosi

5 a+4-⋅h a+ 4 ---= 4+28−a----= ------- 11 --2---⋅h 12 − a 5(12− a) = 11(a + 4) 60− 5a = 11a + 44 16a = 16 ⇒ a = 1.

 
Odpowiedź: 1 i 7

Wersja PDF