/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2014

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki (CEN Bydgoszcz)
poziom rozszerzony 10 marca 2014 Czas pracy: 170 minut

Zadanie 1
(4 pkt)

Rozwiąż nierówność |3x + 2|− |x− 3| < 4− 2x .

Zadanie 2
(4 pkt)

Udowodnij, że dla a ∈ R + ∖ {1} oraz n ∈ N + ∖{ 1} spełniona jest równość:

---1---+ ---1---+ ---1---+ ⋅ ⋅⋅+ ----1--- = 2703 lo g a. loga3 n loga5 n loga7 n loga103 n n

Zadanie 3
(4 pkt)

Punkty A = (0,3), B = (0,0), C = (− 5,0), D = (x,3) , gdzie x ∈ R − są kolejnymi wierzchołkami czworokąta ABCD . Oblicz wartość x , dla której w czworokąt ABCD można wpisać okrąg.

Zadanie 4
(4 pkt)

Napisz wzór i naszkicuj wykres funkcji | | |g(m)| h(m ) = |m+ 3| wiedząc, że funkcja y = g (m) każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje najmniejszą wartość funkcji kwadratowej f(x) = −x 2 + 4x + 2m + 9 w przedziale ⟨− 1,3⟩ .

Zadanie 5
(4 pkt)

Graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy 6 cm przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy. Płaszczyzna ta przecina trzy krawędzie boczne i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60∘ . Zaznacz na rysunku ten przekrój i oblicz jego pole.

Zadanie 6
(5 pkt)

Dany jest ciąg określony rekurencyjnie

{ a1 = 2 an+1 = 3n − an + 3.

Wyznacz liczby całkowite x,y tak, aby ciąg (a7,a2 + x,a4 + 2y) był ciągiem arytmetycznym, natomiast ciąg (a1,4x − a2,3a6 − y) był ciągiem geometrycznym.

Zadanie 7
(4 pkt)

Rozwiąż równanie sin x sin 2x = 3co sx 2 w przedziale ⟨− 2 π,π ⟩ .

Zadanie 8
(4 pkt)

Wykaż, że jeżeli α,β,γ są kątami wewnętrznymi trójkąta i sin2 α+ sin 2β = 5 sin2γ , to sinγ ≤ 35 .

Zadanie 9
(5 pkt)

Wykres funkcji wykładniczej y = 3x przekształcono i otrzymano wykres funkcji y = f(x ) (rys).

PIC

Napisz wzór funkcji y = f(x) , a następnie zaznacz na płaszczyźnie zbiór

{ } A = x,y : x ∈ R i y ∈ R i log(x−1)2+y 2[log 9f2(x)] < 0 .

Zadanie 10
(5 pkt)

W okrąg wpisano trapez równoramienny ABCD , którego podstawy mają długości: |AB | = 8 cm , |DC | = 4 cm . Styczna do okręgu w punkcie D przecina prostą AB w punkcie E (rys). Wiedząc, że √ -- |DE | = 6 5 cm oblicz promień okręgu opisanego na trapezie ABCD .

PIC

Zadanie 11
(3 pkt)

Pięć ponumerowanych kul rozmieszczamy losowo w czterech ponumerowanych szufladach. Oblicz ile jest możliwości takiego rozmieszczenia kul, aby dokładnie dwie szuflady były puste.

Zadanie 12
(4 pkt)

Dla jakich wartości m reszta z dzielenia wielomianu W (x ) = x3 − 3x2 − 5m-x+ 3m − 1 przez dwumian (x− 3) jest niewiększa od 3?

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania