Zadanie nr 4968105

Wyznacz wzór funkcji liniowej wiedząc, że zbiorem rozwiązań nierówności f (x) > 8 jest przedział (− ∞ ;− 1) , a zbiorem rozwiązań nierówności f (x) ≤ − 2 jest przedział ⟨4;+ ∞ ) .

Rozwiązanie

Sposób I

Szukamy funkcji postaci f(x ) = ax + b . Rozwiążmy podane w treści nierówności

ax + b > 8 ax + b ≤ − 2 ax > 8− b ax ≤ − 2 − b.

Chcemy teraz podzielić przez . Ze względu na podane rozwiązania tych nierówności, widać, że musi być a < 0 – to jest jedyny sposób, żeby rozwiązaniem pierwszej nierówności był zbiór x < −1 . Zatem dzieląc zmieniamy znak nierówności.

8 − b −2 − b x < ------ x ≥ -------. a a

Jeżeli ponownie spojrzymy na podane rozwiązania tych nierówności to dostajemy układ równań.

{ 8−b -a--= − 1 −2−b-= 4 { a 8 − b = −a − 2 − b = 4a

Odejmujemy od pierwszego równania drugie (żeby skrócić ) i mamy

10 = −5a ⇒ a = − 2.

Z pierwszego równania mamy

b = 8 + a = 6 .

Sposób II

Zadanie możemy też rozwiązać bardziej geometrycznie. Jeżeli narysujemy sobie proste y = 8 i y = − 2 , to patrząc na obrazek widać, że szukana prosta musi mieć a < 0 oraz musi przecinać prostą y = 8 w punkcie A = (− 1,8) , a prostą w punkcie B = (4,− 2) .

Szukamy zatem prostej przechodzącej przez te dwa punkty. Możemy to zrobić, jak w poprzednim sposobie, układem równań, lub możemy od razu skorzystać ze wzoru na prostą przechodzącą przez dwa punkty A = (x ,y ) A A i B = (xB,yB ) :