/Szkoła średnia/Funkcje

Zadanie nr 5021877

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dla jakich wartości parametru m granica funkcji (m3+-9m-2+9m+-11)x2−x+-2 xl→im+∞ (m2+1)x2+3 jest równa czwartemu wyrazowi ciągu określonego wzorem rekurencyjnym { a1 = − 2 an+1 = 2an + 3 dla ≥ 1

Rozwiązanie

Liczymy daną granicę – dzielimy licznik i mianownik przez 2 x .

3 2 2 3 2 1 2- lim (m--+--9m--+-9m--+-11)x--−-x-+--2 = lim (m---+-9m--+--9m-+-1-1)−--x +-x2 = x→ +∞ (m 2 + 1)x2 + 3 x→ +∞ (m 2 + 1)+ 32 3 2 x = m---+-9m--+--9m-+-1-1. m 2 + 1

Obliczamy a4

a2 = 2a1 + 3 = − 1 a3 = 2a2 + 3 = 1 a4 = 2a3 + 3 = 5.

Pozostało więc rozwiązać równanie

m 3 + 9m 2 + 9m + 11 ---------2-----------= 5 m + 1 m 3 + 9m 2 + 9m + 11 = 5m 2 + 5 3 2 m + 4m + 9m + 6 = 0

Szukamy teraz pierwiastków całkowitych tego równania – sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego. Jednym z nich m = − 1 , więc dzielimy wielomian przez (m + 1) . My zrobimy to grupując wyrazy.

3 2 3 2 2 m + 4m + 9m + 6 = (m + m )+ (3m + 3m )+ (6m + 6) = m 2(m + 1 )+ 3m (m + 1) + 6(m + 1) = (m + 1)(m2 + 3m + 6).

Trójmian w drugim nawiasie nie ma pierwiastków (bo Δ < 0 ), więc jedyną wartością m jest m = − 1 .  
Odpowiedź: m = − 1

Wersja PDF