Zadanie nr 5993232

Wykaż, że

sin(30∘ + x )sin(30∘ − x) 2 cosx − 1 ----------2x------------2x--= -----------. cos(30∘ + 2 )cos(30∘ − 2 ) 2 cosx + 1

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy lewą stronę korzystając ze wzorów na sinus i cosinus sumy/różnicy.

∘ x ∘ x L = sin(30--+--2)sin(30--−--2) = cos(30 ∘ + x2)cos(3 0∘ − x2) ∘ x x ∘ ∘ x x ∘ = (sin3-0-cos-2-+-sin-2 cos-30-)(sin30-cos-2 −-sin-2-cos-30-) = (cos 30∘co s x2 − sin x2 sin 30∘)(cos 30∘co s x2 + sin x2 sin 30∘) x √ -- x x √ -- x 2 x 2 x = (c√os-2-+---3sin-2)(c√os-2-−---3-sin-2)-= cos--2 −-3sin--2 = ( 3 cos x2 − sin x2)( 3 cos x2 + sin x2) 3co s2 x2 − sin2 x2 2 x 2 x 2 x = co-s-2-−-3(1-−-cos--2)-= 4co-s-2-−-3-. 3 cos2 x2 − (1 − co s2 x2) 4co s2 x2 − 1

Teraz korzystamy ze wzoru 2 cos2α = 2co s α − 1 .

2 x L = 4-cos--2 −-3-= 2(co-sx-+-1)-−-3 = 2co-sx-−-1-= P . 4 cos2 x2 − 1 2(co sx + 1) − 1 2co sx + 1

Sposób II

Korzystamy ze wzorów:

α + β α − β cosα + cosβ = 2cos --2---cos --2--- cosα − cosβ = − 2sin α+--β-sin α-−-β-. 2 2

Mamy zatem

∘ x ∘ x 1 ∘ L = -sin-(30-+--2)sin(3-0-−--2) = −-2(cos-60-−--cosx-)= co s(30∘ + x2)co s(30∘ − x2) 12(cos 60∘ + cosx ) ∘ 1 = co-sx-−-cos-60- = cosx-−--2= 2-cosx-−-1-= P. co sx + cos 60∘ cosx + 1 2 cosx + 1 2