/Szkoła średnia/Funkcje

Zadanie nr 6415650

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Liczby rzeczywiste x i z spełniają warunek 2x + z = 1 . Wyznacz takie wartości x i z , dla których wyrażenie x 2 + z2 + 7xz przyjmuje największą wartość. Podaj tę największą wartość.

Rozwiązanie

Wiemy, że z = 1 − 2x , więc interesuje nas wartość wyrażenia

2 2 2 2 f(x ) = x + z + 7xz = x + (1 − 2x ) + 7x (1− 2x) = = x2 + 1− 4x + 4x2 + 7x − 14x 2 = − 9x2 + 3x + 1.

Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół i wierzchołku w punkcie

( b − Δ ) ( −3 −(9 + 3 6)) ( 1 5 ) (xw,yw ) = − --,---- = ----, ----------- = -,-- . 2a 4a − 18 −3 6 6 4

W takim razie największa możliwa wartość danego wyrażenia to 5 4 i otrzymamy ją dla 1 x = 6 i 1 2 z = 1− 2x = 1 − 3 = 3 .

PIC

 
Odpowiedź: x = 16 , z = 23 , fmax = 54

Wersja PDF