Zadanie nr 9308644

Wyznacz zbiór wartości funkcji

2 2 f(x ) = 2− 6sin xco sx − 3sin x + 5co s x.

Rozwiązanie

Przekształćmy najpierw podany wzór funkcji. Będziemy korzystać ze wzorów

sin 2x = 2sin xcos x cos2x = 1 − 2sin2 x.

Aby móc skorzystać z drugiego z tych wzorów, zamienimy co s2x na sin2 x (z jedynki trygonometrycznej).

2 2 f(x ) = 2− 6sin xco sx − 3 sin x + 5co s x = = 2− 3sin 2x − 3sin2 x+ 5(1− sin 2x) 2 = 7− 3sin 2x − 8sin x = 3− 3sin 2x + 4− 8sin2 x = 3− 3sin 2x + 4co s2x.

Sposób I

Przekształcimy dalej otrzymany wzór, korzystając z tożsamości

sin (x− y) = sin xcos y− sin y cosx .

Aby zastosować ten wzór, dobierzemy współczynniki przy sin 2x i co s2x tak aby ich suma kwadratów była równa 1. Dzięki temu będziemy je mogli napisać jako sin α i cosα dla pewnego .

3 − 3sin 2x + 4 cos2x = ∘ ------- ( ) 3 − 32 + 42 √---3----sin 2x− √---4-----cos2x = 32 + 42 32 + 42 ( 3 4 ) 3 − 5 --sin 2x− --cos2x = 5 5 3 − 5(co sα sin 2x − sin αcos 2x) = 3 − 5sin(2x − α).

Widać teraz, że zbiór wartości danej funkcji, to przedział ⟨− 2,8 ⟩ .

Sposób II

Aby znaleźć zbiór wartości funkcji , zbadamy jej minima i maksima. W tym celu liczymy pochodną

f′(x) = − 6 cos2x − 8sin2x

i szukamy jej miejsc zerowych. Pochodna nie jest równa 0 dla co s2x = 0 , więc możemy założyć, że cos2x ⁄= 0 .

− 6co s2x − 8 sin 2x = 0 / : 8 cos 2x − 3-= sin2x-- 4 cos2x 3 − --= tg 2x 4

Widzimy więc, że miejsca zerowe pochodnej są w takich punktach, że 3 tg 2x = − 4 . Tak naprawdę nie musimy ustalać gdzie są minima, a gdzie maksima – to się samo okaże, gdy będziemy liczyć wartości funkcji w tych punktach.