/Szkoła średnia/Zadania testowe/Ciągi/Geometryczny/Szereg geometryczny

Zadanie nr 1532910

Liczba x jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym 1 i ilorazie 21√-5 . Liczba y jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym 1 i ilorazie ( 1 ) − 2√-5- . Wynika stąd, że liczba x + y jest równa
A) √ - 4--5 19 B) 40 19 C) √ - 2-5- 19 D) 10 19

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Obliczamy sumy każdego z dwóch opisanych ciągów

√ -- √ -- √ -- √ -- x = --a1--= ---1---- = --√1-- = -√2--5---= 2--5(2--5-+-1-)= 20-+-2--5- 1 − q 1 − -√1- 2-5√−1- 2 5 − 1 20 − 1 19 2 5 2 5 √ -- √ -- √ -- √ -- a1 1 1 2 5 2 5(2 5 − 1 ) 20 − 2 5 y = ------= ------1- = -2√5+1 = -√-------= ---------------= ----------. 1 − q 1 + 2√ 5 -2√5-- 2 5 + 1 20 − 1 19

Stąd

√ -- √ -- x + y = 20-+-2--5-+ 20−--2--5-= 40. 1 9 19 19

Sposób II

Mamy obliczyć sumę

( 1 1 1 ) ( 1 1 1 ) 1 + --√--+ ---+ --√---+ ... + 1 − -√---+ ---− ---√--+ ... = 2 5 20 40 5 2 5 20 40 5 2-- -2-- -2-- = 2 + 20 + 202 + 203 ...

która jak widać jest sumą szeregu geometrycznego z pierwszym wyrazem równym a 1 = 2 i ilorazem q = 120 . Mamy zatem

x + y = -a1---= ---2---= -2-= 40. 1− q 1 − 210 1290 19

Z formalnego punktu widzenia, w powyższym rachunku skorzystaliśmy z tego, że zbieżny szereg geometryczny jest bezwględnie zbieżny – dzięki temu mogliśmy zmienić kolejność sumowania w wyrażeniu x+ y .  
Odpowiedź: B

Wersja PDF