/Szkoła średnia/Zadania testowe/Ciągi/Geometryczny/Szereg geometryczny

Zadanie nr 8553520

Liczba S jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym √ -- 3 i ilorazie √1- 3 . Liczba (S− 3) jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym √ -- 3 i ilorazie q . Wynika stąd, że liczba q jest równa
A) 1 3 B) − 1√-- 3 C) 1 − 3 D) 1 √-3

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że

√ -- √ -- √ -- √ -- S = ----3-- = -√-3--= √--3----= 3(--3-+-1)-= 3--3+--3. 1− √1- -3√−1- 3 − 1 3 − 1 2 3 3

W takim razie suma drugiego z opisanych szeregów geometrycznych jest równa

√ -- √ -- S − 3 = 3--3-+-3-− 3 = 3--3-−-3- 2 2

i musimy rozwiązać równanie

√ -- √ -- 3--3-−-3- -a-1-- ---3-- 2 = 1− q = 1− q √ -- √ --√ -- √ -- 1 − q = --√2--3----= 2--3(--3-+-1)-= 3+----3- 3( 3 − 1) 3 (3 − 1 ) 3 √ -- √ -- q = 1− 3+----3-= − --3-= − √1--. 3 3 3

 
Odpowiedź: B

Wersja PDF