/Szkoła średnia/Zadania testowe/Ciągi/Geometryczny/Szereg geometryczny

Zadanie nr 9419567

Nieskończony malejący ciąg geometryczny (an) , określony dla n ≥ 1 , spełnia warunki:

a1 = 3- i an+1 = 1an− 1 dla n ≥ 2 . 2 2

Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa
A) 23 B) √ -- 2+ 2 C) √-2 1 − 2 D) 3√ -- 3+ 2 2

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli q jest ilorazem ciągu (an) , to wiemy, że

2 1-= an+-1= -anq- = an−-1q- = q2. 2 an− 1 an− 1 an− 1

Wiemy ponadto, że ciąg jest monotoniczny, więc

√ -- q = √1--= --2- 2 2

i suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

√ -- √ -- a1 32 32 3 3(2 + 2) 6 + 3 2 S = -----= ----√-2 = 2−√-2-= ----√---= -----------= ---------. 1− q 1 − -2- --2-- 2 − 2 4− 2 2

 
Odpowiedź: D

Wersja PDF