/Szkoła średnia/Ciągi/Granice ciągów

Zadanie nr 5314181

Oblicz granicę √ -4---------- √ -4-----2- nl→im+∞ ( n + 3n + 7− n − 3n ) .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru 2 2 (a − b)(a + b) = a − b , żeby pozbyć się wyrażenia postaci ∞ − ∞ . Będziemy ponadto korzystać z tego, że √ --- n2 = n4 (będziemy wciągać n2 pod pierwiastek).
Liczymy

( ) ∘ -4---------- ∘ -4-----2- nl→im+∞ n + 3n + 7 − n − 3n = √ --4--------- √ -4-----2- √ --4--------- √ -4-----2- = lim (--n--+-3n-+--7−√---n-−--3n-)(--n√--+-3n-+--7+----n-−--3n-) = n→ +∞ n4 + 3n + 7 + n4 − 3n 2 4 4 2 2 = lim √-n--+-3n-+--7−--n√-+--3n----= lim √------3n--+-3n-+√--7------- = n→ +∞ n 4 + 3n + 7+ n4 − 3n2 n→+ ∞ n4 + 3n + 7 + n 4 − 3n 2 3+ 3+ 7- = lim ∘-----------n---n2∘--------= 3- n→ +∞ 1+ 3-+ 7-+ 1 − -3 2 n3 n4 n2

 
Odpowiedź: 3 2

Wersja PDF