Zadanie nr 3810248

Ciąg (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 wzorem

3 an = (5p-+-3)n--+-7pn-−--4, (p − 2)n 3 − n 2 + p

gdzie jest liczbą rzeczywistą. Oblicz wartość , dla której granica ciągu (an) jest równa 3 4 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Spróbujmy obliczyć granicę ciągu – dzielimy licznik i mianownik przez n 3 .

7p 4 (5p-+-3)n-3 +-7pn-−-4- (5p-+-3)-+-n2-−-n3- 5p-+-3- nl→im+ ∞ (p − 2)n 3 − n2 + p = nli→m+ ∞ (p − 2) − 1 + -p = p− 2 . n n3

Mamy zatem równanie

5p-+-3-= 3- p − 2 4 20p + 12 = 3p − 6 18- 17p = − 18 ⇒ p = − 17 .

Odpowiedź: p = − 18 17