/Szkoła średnia/Ciągi

Zadanie nr 1361982

W trójkąt równoboczny o boku długości a wpisano koło, w które następnie wpisano trójkąt równoboczny, a w ten trójkąt znów koło i tak dalej. Oblicz sumę pól wszystkich wpisanych kół.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dwie rzeczy, które będą nam niezbędne do rozwiązania tego zadania to wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku a i wzór na bok trójkąta równobocznego wpisanego w koło o promieniu R . Oba te wzory łatwo wynikają ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym o boku a

-- a√ 3 h = ----. 2

Promień r okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny to 1 3 wysokości, czyli

√ -- r = a--3. 6

Natomiast promień okręgu R opisanego na tym trójkącie to 2 3 wysokości, czyli

√ -- a--3- 3R-- √ -- R = 3 ⇒ a = √ 3-= 3R.

Spróbujmy teraz ustalić jak wyglądają promienie kół, o których mowa w treści zadania.

PIC

Pierwsze koło ma promień √ - r1 = a-63 . Bok trójkąta równobocznego wpisanego w to koło ma długość

√ -- √ -- a--3- 3 ⋅ 6 .

Zatem kolejne koło ma promień

√ -- √ -- √ -- --3- √ -- a--3- 1- a--3- 1- r2 = 6 ⋅ 3 ⋅ 6 = 2 ⋅ 6 = 2 r1.

I tak dalej, kolejne koło będzie miało promień r3 = 1r2 = (1)2r1 2 2 . Widać więc, że mamy do czynienia z kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Tak naprawdę, to mogliśmy sobie oszczędzić trochę rachunków i od razu zauważyć, że pierwsze i drugie koło to odpowiednio koła opisane i wpisane w drugi z trójkątów. Wystarczy teraz skorzystać z tego, że w trójkącie równobocznym promień okręgu opisanego jest dwa razy większy od promienia okręgu wpisanego.

Musimy obliczyć sumę pól, czyli

( ( )2 ) πr2 + πr 2+ πr 2⋅⋅ ⋅ = π r2 + 1-r2+ 1- r2+ ⋅ ⋅⋅ = 1 2 3 1 4 1 4 1 ( ( ) ) 2 1- 1- 2 πa-2 --1--- = πr1 1+ 4 + 4 + ⋅⋅⋅ = 12 ⋅ 1 = 1 − 4 πa 2 4 πa2 = ---- ⋅--= ----. 12 3 9

 
Odpowiedź: πa2 9

Wersja PDF